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絶対値を含むグラフ、、
関数f(x)=1/2(x+a+lx-al)のグラフが直線x=1を軸とする放物線y=g(x)と二点で接している、ただしa>1とする、このとき、以下の問いに答えよ (1)y=f(x)のグラフの概形描け (2)y=g(x)をaを含む形で表し、二つの接点の座標を求めよ (3)y=f(x)とy=g(x)で囲まれた部分の面積をaを使って表せ、、 この問題なんですが、(1)でどこで場合分けするのか、わからずつまずいてしまったんですが、、、 この問題、解き方の道筋だけでいいので、アドバイスいただけませんか? よろしくお願いします、、
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> 新しく自分で置いた文字dをそのまま、 > 解としてd=aのように置いてしまってもいいのでしょうか? 図のような折れ線に x=1 を軸とする放物線が2か所で接するのですから, 水平線(y=a)と接し,斜め線(y=x)と接するわけです. 水平線と放物線が接するのですから,接点は放物線の頂点です. y = c(x-1)^2 + d で x=1 とおけば,放物線の頂点は (1,d) です. したがって,d=a. > それともこの問題はx>a、、x<aのグラフ二つを合わせて二点ってことなのですかね? 上でも書いたように,水平線(y=a)と接し,斜め線(y=x)と接するわけです. どちらかだけですと,2度接することは不可能です. y=f(x) のグラフは図の様な折れ線です. a は変数でなくて定数ですよ. 値が2とか5とか,書かれていないだけです. それから,テキストファイルで式を書くときは誤解されないように 細心の注意が必要です. No.2 の starflora さんも迷われたみたいですよ. 私もちょっと?と思ったのですが,1/2 と次の( )との間が空いていたので (1/2) (x+a+lx-al) と解釈しました. 私の解釈が質問の意図とあったのは多分に偶然です. starflora さん,私,その他の回答者の方々の回答を見てください. 式は本当に注意を払って書かれています.
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- starflora
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1)の問題ですが、f(x)=1/2(x+a+lx-al) というのは、 x>a の時、f(x)=y= 1/2(2x) =1/4x case 1 x<a の時、f(x)=y= 1/2(2a) =1/4a case 2 これは、case 1 の時は、(x,y)=(1/2,1/2) を頂点とする双曲線です。 case 2 の時は、y= 1/4a の水平線になります。 従って、グラフは、x=a>1 の点でつながり、ここより右は双曲線、ここより左は、y=1/4a の水平線という図形です。 この図形で、a>1 でまた、問題の放物線と二つの接点を持つことができます。 関数 f(x) の定義が、f(x)= (1/2)(x+a+lx-al) の時は、No.1 の siegmund さんの言われる通りなのですが、普通、こうは表記しないのではないかと思います。 無論、わたしのように考えた方が問題が難しく、もしかすると解がない可能性があるので、f(x)= (1/2)(x+a+lx-al) のことなのかも知れません。 また、わたしの場合だと、放物線が二つの接点を持つ場合、上に凸ということになります。
- siegmund
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絶対値の分類ですから,中身が正か負かで分類です. x>a のとき,|x-a| = x-a で,f(x) = x x<a のとき,|x-a| = a-x で,f(x) = a y │ │ │ │ / │ / ━━━━a━━━/ │ │ ─────┼─────── x 0│ a │ │ (1)は大体こんなグラフですか. (2)は2箇所で接するというのですから,下に凸の放物線ですね. 軸が x=1 というのだから,放物線は y = c(x-1)^2 + d (c>0) 水平線と接する ⇒ 放物線の頂点のy座標がa ⇒ d=a. y=x と接する ⇒ 重根条件 ⇒ c が a で表される. というところでしょうか. あとはお任せします.
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補足
回答ありがとうございます。。 (2)なんですが、新しく自分で置いた文字dをそのまま、解としてd=aのように置いてしまってもいいのでしょうか? あと、x<aの場合はy=aの直線ですよね、その場合二点で接することは不可能じゃないでしょうか?それともこの問題はx>a、、x<aのグラフ二つを合わせて二点ってことなのですかね?僕が考えたのはaもxも変数なので、一つのグラフかかず、二つに分類したんです、そしたら、それぞれが二点で接することが不可能になってしまったので、(1)に戻って考えたのですが、できなくて、、、、 すいませんが、(2)について、補足お願いします m(._.)m