確率の問題なのですが…

質問

ジャンケンを行い、勝てばスコアが1増え、負ければスコアが1減り、あいこの場合はスコア増減なしというルールで、ゲームを行います。
試合は全部で6回行われ、初期のスコアは3で、0になると失格となります。
このとき、ジャンケンで勝利・敗北・あいこの確率が同じとすれば、

イ：6試合を終えて、スコアが3以上である確率

ロ：6試合を終えて、スコアが1以上である確率

は、どのようにすれば求まりますか？

1/3を使うのがヒントだと思いますが、その先はわかりませんでした。

回答No.2

debut · ベストアンサー

地味に、各試合で　ある得点になる場合の数を求めてみると、
※数字はその試合終了後の得点、( )内の数字は場合の数(～通り)。
１試合目・２（１）・３（１）・４（１）

２試合目・１（１）・２（２）・３（３）・４（２）・５（１）
※例えば、３点のときの３通りは、１試合目で２点だったのが勝利で３点
に、３点だったのがあいこでそのまま、４点だったのが敗北で３点に、
という１通りずつ　の３通り（以下、前試合の得点の通り数をみて足して
いけば　その得点になる場合の数は求められます）

３試合目・０（１）・１（３）・２（６）・３（７）
　　　　　　・４（６）・５（３）・６（１）
※例えば、３点のときの７通りは、２試合目で２点だったのが勝利で３点
になる２通り、３点だったのがあいこでそのままの３通り、４点だったの
が敗北で３点になる２通り　の合計です。

４試合目・０（３）・１（９）・２（16）・３（19）
　　　　　　・４（16）・５（10）・６（４）・７（１）

５試合目・０（９）・１（25）・２（44）・３（51）・４（45）
　　　　　　・５（30）・６（15）・７（５）・８（１）

６試合目・０（25）・１（69）・２（120）・３（140）・４（126）
　　　　　　・５（90）・６（50）・７（21）・８（６）・９（１）

それぞれの試合までは常に勝利・敗北・引き分けの確率は1/3なので、
例えば４試合目が終わった時点で得点が３である確率は　(1/3)^4×19
のように計算します。

すると、イ。(1/3)^6×434　　ロ。(1/3)^6×623

書いている途中で気付いたけど、６試合目までたどりつく確率は8/9で
した。３試合目に1/27で失格、４試合目に1/27で失格、５試合目に1/27
で失格。

お礼

このようにすればいいのですか。
要所要所で、スコアが何点になるかを考えていけば、解けそうですね。
詳しく解答していただき、ありがとうございました。

回答No.1

Quattro99

イ：勝ち数が負け数を下回らなければよい。つまり、
0敗→全て
1敗→1勝以上
2敗→2勝以上
3敗→3勝
4敗→×
ですが、このうち、いきなりの3連敗だけは失格になります。

ロ：失格にならない確率なので、1-失格になる確率ということになると思います。
3回目に失格になる場合→いきなり3連敗のみ
4回目に失格になる場合→3回終了時点で1点になっていて4回目に負け
5回目に失格になる場合→4回終了時点で1点になっていて5回目に負け
6回目に失格になる場合→5回終了時点で1点になっていて6回目に負け
です。
1点になっているというのは、持ち点1で引き分けるか、持ち点2で負けるかどちらかです。*点になっているときを考えるには、このようにさかのぼって考えればよいと思います。
ただし、これらを考えるときも、既に失格になってしまうような場合を除かねばなりません。

かなり面倒なことになりますが、他によい方法は思いつきませんでした。

お礼

ありがとうございました。
イは勝ち数≧負け数になればよく、ロは1から失格になる確率を引くのですね。
途中までながらも、参考になりました。