y=2sinx+cosxの最大値

質問

y=2sinx+cosxの最大値を求めよ。

全然分かりません。
解説お願いします。

回答No.4

u13

>No.1
>√３→√５では
>私も時々こういうミスやるんですよ

わぉ。おおぼけでした。√３ってあんまり出てこないのに珍しいな,とは思ってたのですが...
大学受験から１５年近く経ってるのですっかり算数力を失ってしまってます。（涙）

回答No.3

128yen

こういう問題の場合、三角関数の合成（加法定理）を使います。

(1)sinとcosの係数に注目し、それぞれの係数を2乗したものを足してその平方根を取ります。
→ (（2の2乗）+（1の2乗))の 平方根→√(2^2+1^2)→√5

(2)次に(1)で出た答えを前に出します。（つじつま合わせのためsinとcosはその数で割っておきます。（前に出した分をわってあげれば式自体の値は変わりませんので）
→ 2sinx+cosx
=√5｛(2/√5)sinx+(1/√5)cosx}

(3)(2)で得られた{ }の中に注目します。( )の中の数字は必ず-1以上1以下の数字となっています。さらに( )の中の数字を2乗して足すと必ず１となります。（そうなるように(1)の計算をしている）。(2/√5)^2+(1/√5)^2=１。これってsinx^2+cosx^2=１ってことです。つまり( )の部分はsinあるいはcosで置き換えることができます。

(4)加法定理と比較しています。
sin(x+y)=sinx・cosy+siny・cosxと比較してみると、(2/√5)の部分がcosy、(1/√5)の部分がsinyに相当していますよね？このことからyの値が求まります。（綺麗な数字にはなりませんが）

このことから
2sinx+cosx
=√5sin(x+y)という形に変形できます。ただしyはcosy=(2/√5)、siny=(1/√5)です。
sinの関数は-1以上1以下ですから最大値（あるいは最小値）がわかりますよね？

回答No.2

nuubou

No.1
√３→√５では
私も時々こういうミスやるんですよ

回答No.1

u13

y=2sinx+cosx
=√3 (2/√3 sinx + 1/√3 cosx)
=√3 (sinαsinx +cosαcosx)

と変形できます。あとはご自分で考えましょう。（答えが出てるけど)