ラプラス変換にe^(-st)が無い
「演習で学ぶ基礎制御工学 (2014年10月6日 新装版第1刷)」を読んでいて、正しい計算なのか誤植なのか分かりません。
以下に引用します：
コンデンサに蓄えらる電荷q(t) [C]と電流i(t) [A]との関係は、
q(t) = ∫[0, t] i(τ) dτ
であるから、
v(t) = (1/C) ∫[0, t] i(τ) dτ ……(3.1.55)
の関係がある。
v(t), i(t)のラプラス変換をそれぞれV(s), I(s)と書くとき、式(3.1.55)は次のようになる：
V(s) = (1/C) [ (1/s) I(s) + (1/s) { ∫[0, t] i(τ) dτ } | t=+0 ]
…以上、引用終わり。
これは
V(s) = (1/C) [ (1/s) I(s) + (1/s) { e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ } | t=+0 ]
の誤植でしょうか？
（e^(-st)の有無が違う）
私の計算だと：
v(t) = (1/C) ∫[0, t] i(τ) dτ ……(3.1.55)
L[v(t)] = (1/C) L[ ∫[0, t] i(τ) dτ ]
V(s) = (1/C) ∫[0, ∞] ∫[0, t] { i(τ) dτ } e^(-st) dt
部分積分して
V(s) = (1/C) [ { (-1/s) e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ }[0, ∞] - ∫[0, ∞] i(τ) (-1/s) e^(-st) dt ]
V(s) = (1/C) [ (-1/s) { e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ }[0, ∞] + (1/s) ∫[0, ∞] i(τ) e^(-st) dt ]
V(s) = (1/C) [ (-1/s) { e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ }[0, ∞] + (1/s) I(s) ]
比較のために第一項と第二項の順番を変えると
V(s) = (1/C) [ (1/s) I(s) - (1/s) { e^(-st) ∫[0, t] i(τ) dτ }[0, ∞] ]
（第二項が負になりました…もし間違いがあればご指摘下さい）
そして、本に載っているのが以下です：
V(s) = (1/C) [ (1/s) I(s) + (1/s) { ∫[0, t] i(τ) dτ } | t=+0 ]
もし本の計算が正しくてe^(-st)を消せる方法があるなら教えて下さい。
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お礼
ありがとうございました。今、すぐ理解はできませんが教えて頂いたサイトで勉強してみます。