Ａ＾＊・Ａ＝Ａ・Ａ＾＊である三角行列Ａが対角なのは何故？

質問

Ａが三角行列のときＡ＾＊・Ａ＝Ａ・Ａ＾＊ならばＡが対角行列になることを分かりやすく説明してください
成分比較で分かるらしいのですが

回答No.1

sokamone · ベストアンサー

なんか以前にもこの質問をしていましたね。もうそのときに解決したのだろうと
思っていましたが、よく読んでみるとそうじゃないみたいですね。

基本的に行列のサイズの帰納法で示します。
行列Ａがｎ次の上三角行列で、
(Ａ^*)Ａ=Ａ(Ａ^*)　---[ｎ]
をみたすとします。Ａの(i,j)成分をa(i,j)と書くことにします。
すると、等式[ｎ]の(n,n)成分を比較することにより、次の等式を得ます。
ただし、[ ]~は[　]内の式の複素共役を意味します。

[a(1,n)]~a(1,n)+ … +[a(n-1,n-1)]~a(n-1,n-1)+[a(n,n)]~a(n,n)

=a(n,n)[a(n,n)]~

これより、両辺から[a(n,n)]~a(n,n)をひいて、

[a(1,n)]~a(1,n)+ … +[a(n-1,n-1)]~a(n-1,n-1)＝０

を得ます。しかし、これは、

｜a(1,n)｜^2+ … +｜a(n-1,n-1)｜^2＝０

と書くとわかるように、｜a(1,n)｜=0、…、｜a(n-1,n-1)｜=0を導きます。
よって、a(1,n)=0、…、a(n-1,n-1)=0を得ます。
こうして、行列Ａは、(n-1)主小行列Ｂと(n,n)成分ｃに分解されることが
わかります。

　　　Ａ=｜Ｂ０｜
　　　　 ｜０ｃ｜

ただし、ｃ=a(n,n)。
すると、等式[ｎ]は、(n-1)次の上三角行列Ｂに関する等式[n-1]を与えます。
ここで、帰納法の仮定を用いると行列Ｂは対角行列ですので、結局、行列Ａも
対角行列になります。ｎ=１のときに成り立つのはあきらかですね。
以上で証明が完了です。

お礼

基本的に行列のサイズの帰納法で示します。
行列Ａがｎ次の上三角行列で、
(Ａ^*)Ａ=Ａ(Ａ^*)　---[ｎ]
をみたすとします。Ａの(i,j)成分をa(i,j)と書くことにします。
すると、等式[ｎ]の(n,n)成分を比較することにより、次の等式を得ます。
ただし、[ ]~は[　]内の式の複素共役を意味します。

[a(1,n)]~a(1,n)+ … +[a(n-1,n)]~a(n-1,n)+[a(n,n)]~a(n,n)

=a(n,n)[a(n,n)]~

これより、両辺から[a(n,n)]~a(n,n)をひいて、

[a(1,n)]~a(1,n)+ … +[a(n-1,n)]~a(n-1,n)＝０

を得ます。しかし、これは、

｜a(1,n)｜^2+ … +｜a(n-1,n)｜^2＝０

と書くとわかるように、｜a(1,n)｜=0、…、｜a(n-1,n)｜=0を導きます。
よって、a(1,n)=0、…、a(n-1,n)=0を得ます。
こうして、行列Ａは、(n-1)主小行列Ｂと(n,n)成分ｃに分解されることが
わかります。

　　　Ａ=｜Ｂ０｜
　　　　 ｜０ｃ｜

ただし、ｃ=a(n,n)。
すると、等式[ｎ]は、(n-1)次の上三角行列Ｂに関する等式[n-1]を与えます。
ここで、帰納法の仮定を用いると行列Ｂは対角行列ですので、結局、行列Ａも
対角行列になります。ｎ=１のときに成り立つのはあきらかですね。
以上で証明が完了です。

ということですね
読みやすいように書き直してみました
しかし私の本では［ｎ］の成分比較によって直ちに分かると書いてあったのですが
要するに対角成分だけを比較すればよいのですね
もうすこし丁寧に一言多くその本が書いてあればすぐ分かったのに残念です
肝心なことを書いていないと余計な成分まで比較してしまいますからね
よく理解できました
どうもありがとうございました