自作問題(図形？)です

質問

自分で考えた問題なんで、解けるかどうかも分かりません

「１辺70cmの正方形の内部(辺上含む)に、50個の点を適当にばらまく。このとき、２点間の距離がαcm以下になるような２点が必ず存在する。」
上記の主張が成り立つようなαの最小値を求めよ。

これの元ネタは、αでなく10√2 という具体的な値で、これが成り立つことを証明せよというものです。
この場合は、正方形を7×7=49個の小正方形に分けると、鳩の巣原理によって明らか、ということでした。
しかし、直感的に、これより小さな値でも成り立ちそうなので、この問題を考えました。
作ったはいいものの、私には解けそうにありません。
誰か代わりに解いてやってくれませんか？
できれば、高校レベルの知識で分かるように説明してほしいと思います。

回答No.10

stomachman

stomachmanです。
No.8で、copy & pasteを失敗したみたいです。
>　L' = 7.947 cm
は間違いで
L' ≒ 7.046cm
と訂正します。

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ちなみに(1)～(5)の言い換えをもう少し厳密に書いてみます。
n={1,2,..,50}、点の列をP[i]（i∈n)、２点P,Qの距離をd(P,Q)、実数の集合をRと書くことにすると、

(1)は
A={α | α∈R∧∀P( ∀i(i∈n→P[i]∈S) → ∃i∃j((i∈n∧j∈n∧i≠j)∧d(P[i],P[j])≦α))}
という集合の下限を求める問題、
(2)は
B={α | α∈R∧∃P( ∀i(i∈n→P[i]∈S) ∧ ∀i∀j((i∈n∧j∈n∧i≠j)→d(P[i],P[j])≧α))}
という集合の上限を求める問題です。

　AとBは１個の要素αminを除いて、互いに実数の補集合になっています（A∪B = R, A∩B={αmin}）。なぜなら、論理式
∀P( ∀i(i∈n→P[i]∈S) → ∃i∃j((i∈n∧j∈n∧i≠j)∧d(P[i],P[j])≦α))
の否定が
∃P( ∀i(i∈n→P[i]∈S) ∧ ∀i∀j((i∈n∧j∈n∧i≠j)→d(P[i],P[j])＞α))
に他ならないからです。そして、
∀α∀β（(α∈A∧β∈B) → α＞β)

　さて、平面上に直交座標系<x,y>を決め、S(L)を、中心が原点にある一辺Lの正方形
S(L)={<x,y>| |2x|≦L ∧ |2y|≦L}
とします。中心がPにある直径αのコイン (α＞0)が占める領域C(P,α)は
C(P,α)={<x,y>|d(<x,y>,P)＜α/2}
です。もしP∈S(α)ならば、コインが占める領域C(P,α)は
S(L+α)={<x,y>| |2x|≦L+α ∧ |2y|≦L+α}
という正方形の中に必ず納まる。つまり
C(P,α)⊂S(L+α)
です。（より正確には、S(L+α)の四隅を半径α/2の円弧で丸めた形の中に必ず納まる。）つまりまた、S(L+α)に納まるコインの中心Pは必ずP∈S(α)である。まとめると
∀α(α＞0→∀P((P∈S(α))⇔C(P,α)⊂S(L+α))
である。
また「２個のコインC(P,α), C(Q,α)が重なりあわない」という命題をF(P,Q,α)と書けば、これは「C(P,α)∩C(Q,α)が空集合」ということと等価であり、すなわちF(P,Q,α)の必要十分条件は
d(P,Q)≧α
です。そして
αmin＞0
も自明です。だから(2)を次のように書き換えることができる。
C={α | α∈R∧α＞0∧∃P( ∀i(i∈n→C(P[i],α)⊂S(70+α)) ∧ ∀i∀j((i∈n∧j∈n∧i≠j)→F(P[i],P[j],α) ))}
の上限を求める問題。これが(3)です。

次に(4)。これは(3)の座標系をx,y共に1/α倍に相似変換したものに過ぎません。αそのものには何の影響もないので、
C={α | α∈R∧α＞0∧∃P( ∀i(i∈n→C(P[i],1)⊂S(70/α+1)) ∧ ∀i∀j((i∈n∧j∈n∧i≠j)→F(P[i],P[j],1) ))}

(4)から(5)への言い換えは自明でしょう。