絶対値の三次関数

質問

f(x)=x~3-|3x~2-4|とy=x+kのグラフとの共有点の数が２個である時kの値は何か？
という問題なのですが絶対値の中の場合分けをしてグラフを書いて地道に解こうとしたのですが思ったより√が入ってたり複雑になってしまって時間がかかり、答えに辿り着けませんでした。何か良い解き方や、早く解ける方法がわかる方教えてください！

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

#2です。
質問が解決しなければ補足質問してください。

A#2の追加補足です。
1)のケース
この区間の曲線のグラフは
y = x~3-x-|3x~2-4|
=x~3-x+(3x~2-4)=x~3+3x~2-x-4
となります。
極小値(=k)を求めるには、y'=3x^2+6x-1=0の根の2根の内、極小値kを与える方はx=(-3+2√3)/3 (≒0.1547...)ですので、極小値kはこのxをy=x~3+3x~2-x-4に代入した時のyの値になります。

2)のケース
x=2/√3で絶対値| |内 = 0となりますので
kはこのxを
y = x~3-x
に代入したときのyの値になります。

分からないときは質問者さんの解答の過程を示して質問を補足してください。

お礼

一昨日、志望校が決まりました。私の受けた大学は５つだったのですが絶対値はそのうち４つに出るという頻度でした。２つ目の大学で質問させていただいたおかげで３つの大学に受かることが出来ました。早くお礼を打たなければと思っていたのにこんなに遅くなってすいません。丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.2

oyaoya65

＞絶対値の中の場合分けをしてグラフを書いて地道に解こうとしたのです

矢張りグラフを描く方法が一番いいですね。
ただ闇雲にグラフを描くより
A#1さんの回答のように
共通根の方程式を整理しなおして図的に分かりやすいグラフにした方がいいですね。

x~3-|3x~2-4| = x+k
から
x~3-x-|3x~2-4| = k
と変形し
y = x~3-x-|3x~2-4| のグラフと
y = k (←x軸に平行な直線)　のグラフ
の交点を考えた方が分かりやすいですね。

＞共通点の数が2個
このケースは2通りありますね。
１）-2/√3以下に一交点、他の交点（接点）が　-2/√3～2/√3の間にある。
→この区間での左辺のグラフの極小値がkになります。

2)一交点がx=2/√3で、もう１つの交点がそれより右にある。
→　x=2/√3における　左辺のグラフのy座標がkになります。

この2つのケース以外は共有点が2個になりませんね。

以上の説明からkの求め方は分かりますね。
後は頑張っておやりください。

お礼

一昨日、志望校が決まりました。私の受けた大学は５つだったのですが絶対値はそのうち４つに出るという頻度でした。２つ目の大学で質問させていただいたおかげで３つの大学に受かることが出来ました。早くお礼を打たなければと思っていたのにこんなに遅くなってすいません。丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.1

mackie01

変数分離、つまり
x~3-|3x~2-4|＝x+k
x~3-|3x~2-4|-x=k
としてグラフを書き、ｋを動かして交点が２つある範囲を調べてはどうですか？

お礼

わかりやすい回答ありがとうございました。