天気予報の確率

質問

天気予報士がある地域における雨の降る確率を求めます。その確率の正確性によって彼らの給料が決められます。結果X(雨が降ったら１、そうでない場合は０）に対するそれぞれの予報確率　P'によって得点づけられ、それによってその正確性は測られます。その得点をS=X*ln(P')+(1-X)*ln(1-P')と定義します。
（１）もし雨の降る本当の確率がPとした場合、得点の期待値を最大にするP'を求めよ。もし、天気予報氏がもし個のルールにおいて高いパフォーマンスをした時給料のボーナスをもらえるとしたら、彼らは長期的に彼らの給料を最大にするためにどのようか行動を取るべきか。
（２）ブラジルで一日に雨の降る確率がここ５０年間６９％。インドで、一日雨の降る確率が２４％。ブラジルの天気予報士と、インドの天気予報士をこの得点システムで彼らのパフォーマンスを比べるのは適切であるか？

　一応（１）の途中までは解答しました。
解答：E(S)=P*ln(P')+(1-P)*ln(1-P')
dE(S)/dP'=P/P'+(P-1)/(1-P')=0
よって最大値を取る時は、P=P'

ここからまったく分かりません。よければ解き方を教えてください。

回答No.1

at9_am · ベストアンサー

(1)
最大値をとる P'=P なので、得点システムの P' を P とすれば良いことになります。ところで P' は P の推定量として理解できますから、結局 P' として P の一致推定量を用いれば良いことになります。その最良不偏推定量は F を雨が降った日数、D を全日数として
P' = F/D
と表すことができます。したがって、それまでの雨が降った日数 F' と全日数 D' の比
P'' = F'/D'
という行動をするのが良いかと思います。

(2)
E(S_Brazil) = P_Brazil ln(P_Brazil) + (1-P_Brazil) ln(1-P_Brazil)
= 0.69 ln(0.69) + (1-0.69) ln(1-0.69)
≠ E(S_India) = P_India ln(P_India) + (1-P_India) ln(1-P_India)
となるため、不適切です。

お礼

最近からですが、確率を勉強しだして面白さを感じています。この問題をおかげさまで理解することができて、嬉しく思っています。有難うございました。