ポアズイユの法則

質問

物理学は全くのド素人です。
わけあって管を流れる液体について調べていて、物理学？流体力学？の入口である「ポアズイユの法則」の意味が分からず質問しました。

・流量は半径の４乗に比例する

この意味が分からん。
管の半径が2倍になったら流量が16倍になるって意味ですか？

半径が2倍になれば断面積は4倍だから一定速度の流れなら流量は4倍だと思うのですが。。。。
基本的な日本語が分かってないだけかもしれません。
うまく解説していただけると助かります。
またはいいサイトを教えてください。

回答No.3

siegmund

ojisan7 さん，banbanjump さん，の言われるように，
流量は管の半径の４乗に比例することが知られています．

japonicus さんの疑問は以下のようなことなのでしょう．
管の断面積は半径の２乗に比例しますから，
流量もやはり半径の２乗に比例するのではないか．
電気抵抗だって，電圧を一定にしておいて導線を２本並列にしたら，
電気抵抗は１本の場合の半分になって，
電流は２倍になるではないか．
これはつまり，断面積を２倍にしたら，
電流(電子の流量)が２倍になったということだ．
似た様な話と思えるのに，管を液体が流れるときはどうして違うのだろうか？

それは，流れを妨げようとする機構が違うのです．
導線の場合は，導線をつくっている結晶格子の振動や不純物が
電流を妨げようとします．
これは導線の内部どこでも同じように作用します．
したがって，導線のどの部分でも電流は同じように流れています
(あまり細かいことは抜きにしています)．

ところが，管を流れる流体に対しては，
流れを妨げるのは管の内壁です．
banbanjump さんが書かれているように，
管の内壁では流速がゼロで(粘着条件，と言われます)，
管の中心に近づくにしたがってだんだん流速が速くなり，
中心で最大になります．
管の内部には流れを妨げようとする機構はありません．
管が太くなると管の内壁の影響は当然少なくなってゆくわけですから，
管の断面積が増加する以上の割合で流量が増します．
つまり，流量は半径の２乗より早く増加します．

どうして半径の４乗に比例するかはもう少し詳しい解析を必要とするでしょうが，
半径の２乗より早く増加することは以上のようなことで説明できます．

お礼

どうしても感覚的に“4乗”というのがつかめなかったのですが、siegmundさんの回答を読むと“２乗より早く増加”というのが良く分かりました。
断面積×流速で流量が分かるのは平均流速が明らかな場合だけなんですね。
どうもありがとうございました。

回答No.2

banbanjump

この法則は、粘性流体の圧力差のある流れの場合の関係です。要するに、管径を変えて、同じ長さの管の一方に同じ圧力をかけた場合を考えれば良いと思います。
流速分布は中心が大きく、管壁が０となります。そして、粘性の関係から流速分布が導き出されるものであり、断面積に比例して大きくなるわけではありません。

参考URL：

http://homepage1.nifty.com/kumabox/H-poi.htm

お礼

断面積と流速の積としての流量しかアタマに無かったのですが、参項URLなどを読んで流速の分布に二次関数が必要なことがよく分かりました。当然、流量計算は積分になるから、単純に“○△倍”とは言えないわけですね。
ありがとうございました。

回答No.1

ojisan7

>半径が2倍になれば断面積は4倍だから一定速度の流れなら流量は4倍だと思うのですが。。。。

そうですね。そういうことだと思います。しかし、実際は半径が2倍になれば断面積は4倍になり、流速も4倍になります。したがって、流量は16倍ということになります。

お礼

ありがとうございます。
ベルヌーイの定理によれば、断面積が大きくなると流速は遅くなりますよね？