楕円体の表面積

質問

楕円体の表面積の求め方について教えてください。

回答No.4

siegmund · ベストアンサー

一般の楕円体はちょっとかんべんしてもらって，
回転楕円体
(1)　　(x^2+y^2)/a^2 + z^2/c^2 = 1
の表面積に焦点を絞って回答します．

残念ながら No.1 と No.2 の回答は不正解のようです．

No.1 は楕円の面積の π×(長半径)×(短半径) から類推されているような
気がします．
一つの軸をスケール変換したときに，
平面図形の面積あるいは立体図形の体積，などはスケール変換と簡単に関連づけられて，
円の面積から楕円の面積，球の体積から楕円体の体積，
など求めることが可能です．
しかし，楕円の周長や，楕円体の表面積はそうはいきません．
参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=27302

No.2 は方針は合っていますが，傾きのことを忘れています．
曲線の長さを求めるときに √{1+(dy/dx)^2} の因子に相当するものを
考慮しないといけません．

z 一定の面での切り口は円で，その半径 R は(1)で x^2+y^2 = R^2 とおいたものですから
(1)　　R = (a/c)√(c^2 - a^2)
です．
円周はもちろん 2πR.
z～z+dz の範囲からの表面積への寄与 dS は
(2)　　dS = 2πR √{dR^2+dz^2} = 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
下図の斜線部が √{dR^2+dz^2} です．

　　　　　　　　／　　↑
　　　　　　　／│　　│
　　　　　　／　│　　dR
　　　　　／　　│　　│
　　　　／　　　│　　↓
　　　　│　　　│
　　　　│　　　│
　　　Ｒ│　　　│
　　　　│　　　│
　　　　z　　　z+dz

あとはこれを積分すればよく
(3)　　S = ∫{-c～c} 2πR √{1+(dR/dz)^2} dz
を(1)を考慮して計算すればＯＫです．
ちょっと計算してみるとわかりますが，積分の本質的部分は
(4)　　∫{-c～c} √{c^4 + (a^2-c^2)z^2} dz
で，a>c か a<c かの分類が必要です．
結果は
a>c のとき
(5)　　S = 2πa^2 + [πac^2/√(a^2-c^2)] log {[a+√(a^2-c^2)]/[a-√(a^2-c^2)]}
a<c のとき
(6)　　S = 2πa^2 + [2πac^2/√(c^2-a^2)] arccos(a/c)
です．
a=c ならもちろん S = 4πa^2．

回転楕円体でなくて，一般の楕円体
(7)　　x^2/a^2 + + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1
なら，z 一定の切り口が楕円ですし，傾きも方向によって異なります．
表面積の公式
(8)　　∬ √{1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2} dx dy
を使う方がわかりやすいかも知れません．

お礼

ありがとうございました。大変参考になりました。