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バナッハ-タルスキーの定理って何?

  • 暇なときにでも
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お礼率 73% (210/284)

しつこくてすみません。mori0309です。
バナッハ-タルスキーの定理って何ですか?
自分で調べるべきなんでしょうけど、他の方たちにも
この魅惑の世界を知っていただきたいです。
またまたstomachmanさんお願いします。
(急ぎでないです)
もちろん他の方でもOKです。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

バナッハ-タルスキーの定理。これについては、そのものずばり「(砂田利一)バナッハ・タルスキーのパラドックス」という秀逸な一般向け解説書があります。この定理のキモである「選択公理」や「無限」「存在証明」を丁寧に解説してあります。さて....

●「3次元の実数空間(つまり(x,y,z): x,y,zは実数)の中で、半径1の球体(中身が詰まっている)を考えます。この球体を(ある内緒の方法で)有限個の部分集合に分割します。(つまり重複も余りもないように分けます。)そして、これらの部分集合それぞれの形は全く変えずに、ただ(ある内緒の方法で)向きを変え、並べ替えて上手に組み合わせると、半径1の球体(中身が詰まっている)を2個作れます。」
 これがバナッハ-タルスキーの定理です。
 金でできた球体を2倍に増やす方法を早く知りたい、と思うのはあなただけではありません。実は「ある内緒の方法」というのは「存在することは証明できるが、やり方は分からない。」不可知なんです。
 
●金の球体は、たかだか有限個の金の原子の集まりです。実数の個数どころか、自然数の個数どころか、たかが有限個に過ぎない。数学的な球体とは全然別物です。だから仮に「ある内緒の方法」が分かったとしても、金の球には使えませんね。

●また、体積という概念も実はええかげんなものです。実際、金の原子の並んでいる間隔を変えるだけで球は大きくなる。加熱してやればいいんですね。ましてや、表面積なんてものは(原子や素粒子のサイズまで考えれば)幻想としか言いようがない。

●3次元の実数空間や、幾何学図形は、我々の住む空間や物の形のモデルとしてとても役に立ちますが、適用出来る限度というものがあるようだ。そういうことです。

 なお、バナッハ-タルスキーの定理を「球体を有限個の部分に切り分けて並べ替えると....」と表現することがありますが、たとえば数直線を「小数点以下1桁目が1のもの」と「それ以外」に分けると、(集合としては2つに分けたんですが)手に持てるような部品2個にはならず、ばらばらに切れた無限個の「部分」になってしまいますよね。「バナッハ-タルスキーの定理において、有限個の、連結した部分集合に分けられる」という証明があるんでしょうか?これは知りません。(多分無理だと思います。)

おおっと、おあとが宜しいようで...
補足コメント
mori0309

お礼率 73% (210/284)

stomachmanさん、ほんとに、ほんとに、すみませんでした。そして、ありがとうございました。無理なお願いをきいていただいて。
自分なりに理解できたら、またお礼の投稿をさせていただきます。
投稿日時 - 2000-12-16 17:26:57
お礼コメント
mori0309

お礼率 73% (210/284)

さっぱり理解できません。(あたりまえですね)でも、面白くてしょうがないです。
(例によってひとり言です)
本当に球体の体積が2倍になるのですか? どこかにオチのあるパラドックスなのですか?
「バラして組み合わせる」というのがトリックなのかな? 無限級数なんかは順序を入れ替えると
結果がぜんぜん違うことがあるから。(やっぱりちゃんと本を読みます)
ありがとうございました。
投稿日時 - 2000-12-18 22:39:16
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

選択公理を認めた以上は、紛れもない定理です。オチがないんですよ。
これは幾らなんでも直感に合わない。パラドックスじゃないの、というんで、選択公理に制限を加えてみたり、色々な試みがなされています。しかし現代では、選択公理を平気で使う、というのが主流のように思えます。
同様に「連続体仮説」も、肯定も否定もできない、つまり公理として加えるかどうかで数学のパワーが変わる、という種類の命題(独立な公理)であることが知られています。

おっとと:
連続体仮説=「「可算無限個(自然数の個数=濃度Aと言う)の要素を持つ集合」のあらゆる部分集合を要素とする集合」の要素の数は、非可算無限個(実数の個数=濃度Cという)と一致する。」
お礼コメント
mori0309

お礼率 73% (210/284)

ありがとうございました。連続体仮説も「無限」に興味がかきたてられます。
投稿日時 - 2000-12-19 08:29:41


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