数列

質問

今，数列
-[-iα]　α∈(0,1]，i=1,2,…,n
までの和を求めたいのですが，うまく行きません．

考える過程でしょうもない公式
-[-z-q]=z-[-q], z∈整数，q∈有理数
は作れたのですが，結局とけません．

なにかヒントありましたら，頂けませんでしょうか？
ひょっとして無理なのかなとも思っています

回答No.6

stomachman

またまたstomachmanです。
前の回答では実用上問題がある。どういうことかというと、S(α,n)、あるいはR(α,n)を求める場合、αが1に近い値であると、繰り返しが多くなってしまうんです。Rを繰り返し計算していく内にいったん1に近い値が現れると、収束が遅い。

そこで、
S(α,n) = Σ<i=1～n>(ceiling(iα))= n(n+1)/2-R(1-α,n)
R(α,n) = Σ<i=1～n>floor(iα)= n(n+1)/2-S(1-α,n)
を利用することにしました。これは
ceiling(iα)=i-floor(i(1-α))
floor(iα)=i-ceiling(i(1-α))
だから成り立つのです。

すなわち、以下のようにして計算を行います。
S(α,n) =
if α=0 又は n≦0 then
　　0
elseif α< 1/2 then
　　β=1/α-floor(1/α) ,
　　m=ceiling(nα)-2 ,
　　(m+2)n - floor((m+1)/α) - (m(m+1)/2)floor(1/α) - R(β,m)
else
　　n(n+1)/2-R(1-α,n)
であり、

R(α,n) =
if α=0 又は n≦0 then
　　0
elseif α < 1/2 then
　　β = ceiling(1/α)-1/α ,
　　m=floor(nα)-1 ,
　　(m+1)(n+1) - ceiling((m+1)/α) - (m(m+1)/2)ceiling(1/α) + R(β,m)
else
　　n(n+1)/2-S(1-α,n)
です。

この手を使えば、S,Rの一つ目の引数はαか1-αの小さい方であり、それは必ず1/2より小さい。つまりm=ceiling(nα)-2 もしくはm=floor(nα)-1によって、確実にm≦n/2ですから、最悪でも概ね log(n) （logは2の対数）の繰り返し回数で計算が終わることが保証できます。