数列

質問

今，数列
-[-iα]　α∈(0,1]，i=1,2,…,n
までの和を求めたいのですが，うまく行きません．

考える過程でしょうもない公式
-[-z-q]=z-[-q], z∈整数，q∈有理数
は作れたのですが，結局とけません．

なにかヒントありましたら，頂けませんでしょうか？
ひょっとして無理なのかなとも思っています

回答No.5

stomachman

●No.2の訂正、追加です。
No.2では[4]の後半で間違えてしまいました。すいません。

【A】R(β,m)の漸化式
R(β,m)=Σ<i=1～m>[iβ]=Σ<i=1～m>floor(iβ) （ただし0≦β≦1）
をきちんとやっつけましょう。やりかたはS(α,n)と同じようなものです。

まず、m≦0またはβ=0の場合はR(β,m)=0です。

0＜β≦1の場合には、
L[β,j] = {i| i∈N-{0}∧floor(iβ)=j}
と定義すると、以下の事が言えます。
Nを自然数(0を含む)の集合とするとき、∀j≧0について、
・L[β,j] = {i| i∈N かつ j≦iβ＜j+1} = {i| i∈N かつ j/β≦i＜(j+1)/β}
・L[β,j]≠φ　（∵0＜β≦1だから）
・max L[β,j]+1=min L[β,j+1]
・min L[β,j] = ceiling(j/β)
・|L[β,j]| = min L[β,j+1]-min L[β,j] = ceiling((j+1)/β)-ceiling(j/β)
・Σ<i∈L[β,j] > floor(iβ) = |L[β,j]| j

ここで
U(β,k)=Σ<j=1～k>(|L[β,j]| j)
とおくと、（0＜β≦1かつm＞0のとき）
R(β,m) =(floor(mβ))(m-min L[β,floor(mβ)]+1) ＋ U(β,floor(mβ)-1)
=(floor(mβ))(m-ceiling(floor(mβ)/β)+1) ＋ U(β,floor(mβ)-1)
となります。

さて、
U(β,k)=Σ<j=1～k>(|L[β,j]| j)
=Σ<j=1～k>(ceiling((j+1)/β)j-ceiling(j/β)j)
=Σ<j=1～k>j ceiling((j+1)/β)-Σ<j=1～k>j ceiling(j/β)
=Σ<j=0～k>j ceiling((j+1)/β)-Σ<j=1～k>j ceiling(j/β)
=Σ<j=1～k+1>(j-1) ceiling(j/β)-Σ<j=1～k>j ceiling(j/β)
=k ceiling((k+1)/β)-Σ<j=1～k>ceiling(j/β)
ここで
β'= ceiling(1/β)-1/β
とおくと、
ceiling(j/β)=ceiling(j (ceiling(1/β) -β'))
　= ceiling(j (ceiling(1/β)) - ceiling(jβ')
　= j ceiling(1/β) - ceiling(jβ')
だから、
Σ<j=1～k>ceiling(j/β)
= Σ<j=1～k>j ceiling(1/β) - Σ<j=1～k>ceiling(jβ')
= (k(k+1)/2)ceiling(1/β) - Σ<j=1～k>ceiling(jβ')
= (k(k+1)/2)ceiling(1/β) - R(β',k)
よって
U(β,k)=k ceiling((k+1)/β)-(k(k+1)/2)ceiling(1/β)+R(β',k)
です。

ここでさらに
m' = floor(mβ)-1
とおくと、
R(β,m) =(m'+1)(m-ceiling((m'+1)/β)+1) ＋ U(β,m')
=(m'+1)(m-ceiling((m'+1)/β)+1) ＋ m' ceiling((m'+1)/β)-(m'(m'+1)/2)ceiling(1/β)+R(β',m')
=(m'+1)(m+1)-ceiling((m'+1)/β)-(m'(m'+1)/2)ceiling(1/β)+R(β',m')
となります。

したがって、
β[0]=β, β[p+1] = ceiling(1/β[p])-1/β[p]
m[0]=m, m[p+1]=floor(m[p]β[p])-1
とすれば、
R(β[p],m[p])=(m[p+1]+1)(m[p]+1) - ceiling(m[p+1]+1)/β[p]) - (m[p+1](m[p+1]+1)/2)ceiling(1/β[p]) + R(β[p+1],m[p+1])
というRに関する漸化式が得られました。

【B】 Σ<j=1～n' -1> floor(j/α) の計算
α'= 1/α-floor(1/α)
n' = ceiling(nα)-1
とおくと、
Σ<j=1～n' -1>floor(j/α)
=Σ<j=1～n' -1>floor(j(floor(1/α)+α'))
= Σ<j=1～n' -1>j floor(j floor(1/α)) + Σ<j=1～n' -1>floor(jα')
= Σ<j=1～n' -1>j floor(1/α) + Σ<j=1～n' -1>floor(jα')
= (n'(n' -1)/2)floor(1/α) +Σ<j=1～n' -1>floor(jα')
= (n'(n' -1)/2)floor(1/α) + R(α',n' -1)

【C】正しいS(α,n)
既にNo.2の[1]～[3]で求めたとおり、
S(α,n) =(ceiling(nα))(n-floor((ceiling(nα)-1)/α)) ＋ T(α,ceiling(nα)-1)
T(α,n' ) = n' floor(n' /α)-Σ<j=1～n' -1> floor(j/α)
です。ここで【B】を使って
T(α,n' ) = n' floor(n' /α) - (n'(n' -1)/2)floor(1/α) - R(α',n' -1)
ゆえに、
S(α,n) =(ceiling(nα))(n-floor((ceiling(nα)-1)/α)) ＋ T(α,ceiling(nα)-1)
=(n'+1)(n-floor(n'/α)) ＋ T(α,n')
= (n'+1)(n-floor(n'/α)) ＋ n' floor(n' /α) - (n'(n' -1)/2)floor(1/α) - R(α',n' -1)
= (n'+1)n - floor(n'/α)) - (n'(n' -1)/2)floor(1/α) - R(α',n' -1)
です。

●答
以上【A】【C】から、

S(α,n) = (m[0]+2)n-floor((m[0]+1)/α)-(m[0](m[0]+1)/2)floor(1/α)-R(β[0],m[0])

ここに、
β[0]=1/α-floor(1/α)
m[0]=ceiling(nα)-2
β[p+1] = ceiling(1/β[p])-1/β[p]
m[p+1]=floor(m[p]β[p])-1

R(β[p],m[p])は、もしβ[p]=0 またはm[p]≦0なら R(β[p],m[p])=0で、さもなくば
R(β[p],m[p])=(m[p+1]+1)(m[p]+1) - ceiling(m[p+1]+1)/β[p]) - (m[p+1](m[p+1]+1)/2)ceiling(1/β[p]) + R(β[p+1],m[p+1])

となります。