節点応力の求め方（有限要素法）

質問

今、有限要素法をアイソパラメトリック要素（４節点）でやっています。

で、要素ごとの応力・ひずみは、同じようにヤコビアンなどを計算して、できるんですが
よく考えたら節点ごとの応力・ひずみを求める方法がわかりません。

どのように求めるのでしょうか。
参考サイトでも構いませんのでよろしくお願いします。

回答No.2

k_riv · ベストアンサー

＞今、有限要素法をアイソパラメトリック要素（４節点）でやっています。

を前提にアドバイスします。

有限要素法というのは，文字通り構造体なり,物体を有限要素に分割して,要素ごとの応力・ひずみを求めるための手法です。

建築物や土木構造物に代表される構造体の場合,梁や柱などを線形要素に分割し要素端部における垂直変位,水平変位,回転変位などの変形状態を求め,変位と節点力の関係式を用いて節点力を求めます。節点力が求まれば，部材の断面性能より応力・ひずみを求めることも出来ます。

さて,アイソパラメトリック要素を用いるということは,一部の例外を除いて要素は,平面又は立体です。ここからは，基本的には上記とほぼ同じ説明になります。つまり,剛性方程式を解くことによって，節点の変位を求め,変位とひずみの関係式を用いてひずみを計算し,そのひずみを用いて応力を計算します。
ここで,問題なのは,アイソパラメトリック要素内のひずみが一定でないことです。
もし,要素内ひずみが一定であれば当然応力も一定ですので,要素の面積と節点の負担面積比によって節点の負担応力を算定することができます。
つまり,アイソパラメトリック要素の剛性マトリックスを作成するときに,1次線形ひずみなどの一定でない要素内ひずみを仮定します。
その結果，要素内の任意の点の応力やひずみは,全て異なっています。と言うことは,節点の応力やひずみを求めるためには,要素内の任意の点の応力と節点位置の応力の関係式を作って・・・云々・・・ということが必要になり,労力の割には実利のほとんどないという事になると思います。

というのは,よく考えてみると,ある程度大きな物体を微小要素に分割した時の微小要素ごとの応力やひずみが計算できているので,その微小要素の構成節点における応力やひずみを,要素そのものの応力やひずみで代用してもほとんど問題ない程度の精度になっている筈だからです。
そのため,アイソパラメトリックに関する書籍等を見ても,節点における応力やひずみに関する説明は,定ひずみの場合を除けば,ないと思います。取り合えず,有限要素法ハンドブックでは,記述の無いことを確認しました。

因みに,この場合のヤコビアンはデカルト座標系と自然座標系の座標変換マトリックスですので，応力やひずみと直接的な関係はありません。つまり,デカルト座標で入力した要素データによって要素の形状マトリックスを作成するとき,座標変換した自然座標系を用いると計算途中で,ガウス積分などの楽な計算手法を用いることが出来るということです。

以上,下手な説明で申し訳ありませんが,参考になれば幸いです。

お礼

ありがとうございます。

理論式と有限要素法の解を比較したかったため、座標がわかっている節点の応力やひずみを知りたかったのです。
しかし、まぁどこでも同じくらいの精度ということですので、積分点を真ん中にしたもので比べたいと思います。多少精度が落ちますが、座標もわかりやすいし、ちょっと比較したいだけなのでいいのかな。

詳しく説明してくれてありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。

回答No.1

ency

アイソパラメトリック要素の場合、節点変位や節点力は議論の対象になりますが、応力・ひずみに関しては積分点で議論します。
積分点以外の点 (節点を含む) では、応力もひずみもめちゃくちゃな値になっているはずです。

ちなみに、ここで言っている積分点は、ガウス・ルジャンドル積分の積分点です。

「有限要素法」でぐぐったら、こんなページを見つけました。
# 参考URL 参照。

ざっと中を見てみましたが、4節点のアイソパラメトリック要素の話もしているようですよ。

ご参考まで。。。

参考URL：

http://www.fem.gr.jp/

お礼

お礼が遅くなってすみませんでした；

シンプルにまとめて頂き、調べるための参考になりました。

ありがとうございました。