こちらの問題も教えてください（因数分解）

質問

すみません・・・(_ _。)
先ほど、質問したものですが
勉強していたら、また、つまづいて
わからない問題が出てきました。
こちらの問題も教えていただきたい
と思って、カキコしました。
よろしくお願いします。

問題
x-y=5のとき、2分の１（x^2+y^2)-xyの値を求めよ。

答え
2分の1（x^2-2xy+y^2)=2分の1（x-y)^2=2分の1×5＾2×=2分の25

疑問点
すみませんが、すべて疑問です。
答えを見て、どうしてこんな解答に結びつくのか
見当もつきません。
困っています。教えてください。

※^2というのは、二乗（2乗）のことです。
わかりにくくてごめんなさい(_ _。)

回答No.5

starflora

これは、暗算で答えがでるというか、見ると答えがでるのですが、回答の手順として：

　　＞x-y=5 の時の　2分の１（x^2+y^2)-xy

　　先の問題で、因数分解は基本的に解けると言いました。また複雑な式の場合、ある数を代入してみるとよいとも言いました。変数が二つある場合は、x=y とか、x=y-1 とか x=2y とか代入してみます。すると、2分の１（x^2+y^2)-xy は、x^2+x^2)/2-x^2 で、これはゼロになります。だから、(x-y)という因数で分解できるのです。

　　しかし、それは置いておいて、２分の１とかが邪魔なのです。分数になっていますから。こういう場合、全体に２を掛けるのです。（あとで、全体を２で割れば同じことになるからです）。そこで２を掛けると、（x^2+y^2)-2xy となります。ここで、丸括弧は外してもよいはずです。

　　すると、x^2+y^2-2xy となります。これは、公式で、(x-y)^2 を展開した形なので、＝(x-y)^2 としてもよいのですが、ここで、x=y というのを試みると、ゼロになるので、(x-y) で因数分解できることになります。

　　すると、(x-y)(x+?y+?) となります。この後の ? はゼロです。何か数があると、?x とか、-?y が出てきますが、そんなのは x^2+y^2-2xy にないからです。前の ? は、y^2 にならなければならないので、-y に ?y をかけて y^2 とは、?y は、-y でないとおかしいです。すると、(x-y)(x-y)となります。これを展開すると、x^2+y^2-2xy になりますから、これが答えです。

　　最初に２を掛けましたから、戻すため、全体を２で割ります。答えは、((x-y)^2)/2 です。x-y=5ですから、(5^2)/2で、２５の２分の１になります。

　　これは、
　　(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
　　(x-y)^2=x^2-2xy+y^2
　　という公式を覚えておかねばなりません。基本公式です。

　　(x+y)(x-y)=x^2-y^2 も基本公式です。
　　これらの公式は、計算すると出てきますが、しょっちゅう因数分解の問題では出てくる式で、覚える方が速く解けるのです。

お礼

親切な説明
ありがとうございました。
ただ、私の頭では
完全に理解できませんでした。
ちょっと
残念ですが
頑張ります（笑）

先ほどに続き
教えてくださり
ありがとうございました(⌒-⌒)