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順列と組合せの区別

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  • 質問No.178507
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お礼率 81% (53/65)

順列や組合せの問題でPやCを使って計算をします。
その時、どういう場合に、Pか、Cを使うのか、イマイチ良く分かりません。例えば、

(1)15人の中から図書委員、体育委員、広報委員各1人を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、兼任は認めないものとする。

(2)15人の生徒の中から4人の学習係を選ぶ方法は何通りあるか。という問題には

(1)はP、(2)はCを使います。

上記のような問題なら何とか分かりますが、応用になった時、計算する際どっちか、区別する方法を教えてください。お願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 46% (14/30)

順列や組み合わせは、その順序が大切です。

いま話題のロト6で考えてみましょう。ロト6は42個の数字から任意の6個の数字を選ぶくじです。
ここで、引かれたくじの番号を「引いた順番通りに」ならべてみましょう。
32、27、17、15、3、22
でも、いまのロト6の当選発表は、引いた順番ではなくて単に、小さいものから順に
3、15、17、22、27、32
と発表されます。これが、まさに組み合わせで、順序を考えないものです。
仮に、引かれたくじの順番が、32と27が入れ代わりになっても、当選くじには影響しません。
こういった、順序が結果に影響しない場合は、組み合わせで42C6となります。

でも、引いた順序が結果に影響する場合はどうでしょうか?
ナンバーズや、普通の宝くじがこれにあたります。
引く順番を、千の位、百の位、十の位、一の位と抽選する場合、たとえば
6328
ならば、もし千の位の6と百の位の3の順序が逆ならば、3628となり
全く別の数字になってしまいます。こう言った場合は順列で各位は10P1
となり、4桁ならば10P1の4乗となります。
質問の例では、「兼任を認めない」とあるので、
例えば、太郎君が図書委員、花子さんが体育委員になった場合と、その逆では
結果が異なります。選挙は、兼任を認めていないので、選挙は同時ではなく、
図書、体育、広報と、順序だてて行われます。太郎君が一番目の選挙で選ばれるのは図書委員、
二番目で選ばれたら体育委員、選ばれる順序によって結果はかわります。
つまり順序が影響するので順列の計算になります。

15人の生徒から学習係を4人選ぶ場合、太郎君が一番目に選ばれ、花子さんが二番目に選ばれるのと
その逆、花子さんが一番目、太郎君が2番目に選ばれるのは、同じ結果になります。
つまり、順序が影響しないので、組み合わせの計算になります。

適切な説明がうまくできなくてすみません。
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

ものすごくご丁寧に誠に感謝します。
しかも、身近なことを取り上げて下さったので、分かりやすかったです。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-04 14:19:36

その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1

簡単に言えば、
(1)のように、それぞれ区別する場合はP、
(2)のように、選ぶときに区別しない場合はCを使います。

もうちょっと詳しく言うと、
異なるn個のものからr個とって1列に並べる→順列nPr
異なるn個のものからr個とる(1列に並べない)→組み合わせnCr

う~ん、実際に具体的な問題が有れば説明できるのですが…
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

私は基本的なことから分かってませんでした。
皆さんの回答から理解する事ができました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-04 14:16:56

  • 回答No.3
レベル14

ベストアンサー率 33% (1403/4213)

> 区別する方法を教えてください。お願いします。

「P」はPosition(位置)のP、CはConbination(組み合わせ)のC。

(1)のパターンは「兼任なし」なので「選ばれた人はxx委員」と決まる。
(2)のパターンなら「誰でも良いからとにかく4人」

なのでは?
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

アドバイス頂きありがとうございました。
問題があった時にすぐ区別できるようにしたいです。
投稿日時 - 2001-12-04 14:22:11
  • 回答No.4
レベル8

ベストアンサー率 9% (2/21)

その、15人を、A~Oさんとします。
(ThisIsAPenさんの言葉をお借りします)
異なるn個のものからr個とって1列に並べる→順列nPr
すなわち、Aさん、Cさん、Hさん、が(この順に)もし選ばれたなら、Aを図書委員、Cを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
また、もし、Cさん、Aさん、Hさん、がもし選ばれたなら、Cを図書委員、Aを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
このように、選ばれた順番によって、誰が何委員になるかが変わってくるんです。だから、選んだものの並び方までかかわってくるんです。よって、nPr。
異なるn個のものからr個とる(1列に並べない)→組み合わせnCr
すなわち、A、B、H、Kさんが(この順に)選ばれたとします。この四人は、みんな学習委員になりますね。
でも、B、H、K、Aさんの順番にえらばれたとしても、みんな学習委員になりますね。だから、選んだものの順番は関係ないんです。
別の見方をすると、ABHK,ABKH,BAHK、BAKH,KHBA,KHAB,HKAB、、、、、、というふうに、(1)の問題では、別と考えられてたものが、(2)の問題では同じ物(1通り)と考えられてしまいます。だから、nPrでは困るんです。
nCr=nPr/r!(自信がありませんが・・・・)ですよね。
だから、nPrから、そのかぶってる物を1とおりと考えるために、多い分を割ってやるんです。
nPrより、nCrの方が、数が小さくなってるはずです。

わかりにくかったかもしれませんが、参考になれば幸いです。
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

>わかりにくかったかもしれませんが
いや、とんでもないですよ。このように説明をしただけると分かりやすいです。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-04 14:26:41
  • 回答No.5

Pは英語で順列を表す Permutation の頭文字です。
難しくいっても分からないと思いますので。
(1) 5人を「ただ」選ぶ(区別をつけない)のとき、C
  つまり、5人のコンビ(みんな同じ・・優劣がついて  いない)
(2) 5人を選び、順番「いろんな意味での優劣をつける」  のとき、P

質問の例では大丈夫!ということなので
区別が難しい問題の例でもあれば・・・
お礼コメント
ato5kg

お礼率 81% (53/65)

本日、テストでした。皆さんのアドバイスを参考にさせて頂いたので(もちろん、namimanaさんのアドバイスもです。)いい結果を期待したいと思います。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-12-04 14:29:31
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