ゼロから無限大までの積分

質問

∫ｘ^－(ａ＋１)ｄｘ＝－１／ａｘ＾ａ＋Ｃ
　　　　　　　　　　　　　　　（もちろんａ＞０）
は分かるのですが、
　ｘ＞０，ｙ＞０の領域で、
◎ ｆ(ｘ,ｙ)＝ｃ／｛ｘ^(ａ＋１)×ｙ^(ｂ＋１)｝
（もちろんａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０）
を２重積分した結果が分かりません。

　ちなみにもともとの問題は、確率密度関数ｆ(ｘ，ｙ)の、未知の定数ｃを求めたのち、ｘ，ｙの期待値や平均や分散や共分散や相関係数を求める問題です。

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

#1です。
＞この重積分をするとガンマ関数が出てくる理由が分かりません。
関数の分母が足し算と勘違いしていました。質問の被積分掛け算の場合はガンマ関数は出てきません。
訂正します。

A#2さんの回答にもありますように2重積分は変数分離ができ不定積分は簡単に求まりますが、積分範囲の下限のゼロを不定積分に代入すると無限大となって発散します。不定積分に上限を入れるとゼロになります。

結論として、積分が発散することは変わりませんね。

元になる信号が有限時間範囲に入っているとか、一定の時間内の積分であれば発散することはないと思います。

回答No.2

ency

∬f(x)g(y)dxdy = ∫f(x)dx×∫g(y)dy

となるのは良いですか？

ここまでくれば、ご質問の二重積分の結果は求まると思いますが、いかがでしょうか。

回答No.1

oyaoya65

発散しますね。

積分すると途中でガンマ関数が出てきますが発散する事が示せます。
ここで一般的な場合をそっくり書けば削除対象になりますので省きます。

比較的簡単な場合のa=b=c=1やa=b=3,c=1で2重積分してみてください。
ｘ＞0,y＞0の範囲で与えられたa,b,cの条件では2重積分は発散します。

補足

ガンマ関数が分からないのですが。もちろん教科書やネットで調べることはできますが、この重積分をするとガンマ関数が出てくる理由が分かりません。
　また、「ちなみに」以降で書きましたように、もともと確率密度関数の問題なのですが、与えられた式は確率密度関数としてはふさわしくないのでしょうか？