微分方とその応用

質問

a_1=π/４、a_n+1=π(sin a_n)/2 (n=1,2,3・・・・・・)で定義される数列{a_n}を考える。また、b_n=π/2-a_n (n=1,2,3・・・・・・)とおく。

(1)不等式 1-cosx≦x^2/2　が成り立つことを示せ。

(2)n=1,2,3,・・・・・・　に対して不等式b_n+1≦π{(b_n)^2}/4 が成り立つことを示せ。
(3)n=1,2,3,・・・・・・　に対して不等式0≦b_n≦(π/4)^(2n-1)が成り立つことを示せ。
(4)極限値 lim a_n[n→∞]を求めよ。

という問題なのですが、(3)はどのようにして求めるのでしょうか。
解答には"(3)は数学的帰納法で求める"と書してあり、帰納法での回答に挑戦してみましたがうまくいきません。
よろしければ、回答のほうをお願いいたします。

回答No.1

endlessriver

１．(3) は　b_n≦(π/4)^(2^n-1)　の誤りと思います。

２．(3)の証明（0≦b_n は略）
a_1=π/4, b_1=π/4
(2)より b_2≦(π/4){(b_1)^2}=(π/4)^3

b_n≦(π/4)^(2^n-1)を仮定すると(2)より
　b_n+1≦(π/4)(b_n)^2≦(π/4)(π/4)^(2^(n+1)-2)
=(π/4)^(2^(n+1)-1)
証終

３．(2)の証明（おまけ。(1)の証明は略）
b_n+1=π/2-a_n+1=(π/2)(1-sin a_n)
=(π/2){1-sin(π/2-b_n)}=(π/2)(1-cos b_n)
≦(π/2){(b_n)^2}/2=(π/4){(b_n)^2}　証終