Lagrangianを使った問題
- Lagrangianを用いて解く問題についての質問です。
- 最適なxと効用関数についての証明についての質問です。
- Σが入っている問題の解き方についての質問です。
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Lagrangianを使った問題
【問題】 max U(x)=ΣAj*ln(xj - aj) subject to Σpi*xi=m j=1...n i=1...n ajとAjは正の定数でΣAj=1とします。 また、R=m-Σaj*pj>0 というRがあるとします。 (1)最適なx=aj+R*Aj/pj となることを示せ (2)最適なU(p,m)=u(x) は２次的な効用関数を表す。Roy's identityを証明せよ。 とあるのですが、Lagrangian を使って解くのかなということは 想像がつくのですが、Σが入ってくるとどのように 解いたらよいのか想像がつきません。 基本的なことなのかもしれませんが。。。 お手数をおかけいたしますが、よろしくお願いします。
- tstwstlng
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全部解答するとルール違反なので概略だけ。 難しく考えすぎだと思います。Σは単に足し算なので、n=2 として max U(x)=A1*ln(x1 - a1) + A2*ln(x2 - a2) subject to p1*x1+p2*x2=m とでも考えればよいと思います。 内点解を仮定すれば、 L = U(x) + λ(m - Σpi xi) とおいてxとλで微分して０と置けば最適解が求められ、直ちに 1/λ = (xi-ai) pi/Ai から1/λ= Rとおけば xi = ai + R Ai/pi が求められます。 同様に解けば Roy's Identity も導出できます。
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お礼
>at9_amさん どうもありがとうございます！！！ 回答の通りやってみたら解けました。 Roy's identity の方もＯＫでした。 助かりました。 どうもありがとうございます。！！！