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選択公理は循環論法的ではないですか？
rinkunの回答
- rinkun
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帰納法ではあくまで任意の有限集合族について選択関数を有限の記号列で構成できることを示せるのであって、可算集合族についての選択関数を有限記号列で構成できることにはなりません。 記号列の長さは要素数とともに増大して可算集合については無限大に発散するでしょう。
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お礼
毎回、早々にご回答をありがとうございます。 まだ少し分からない所があるのですが・・・ 帰納法では、あくまで 「任意の有限集合族について、選択関数を有限の記号列で構成できる」 ことを示せるのであって、 「可算集合族についての選択関数を有限記号列で構成できる」 ことにはならない。実際、 「記号列の長さは要素数とともに増大して、可算集合については無限大に発散するでしょう」 … Ａ とのことですが、 (1) ここで言う「記号列の長さ」というのは、具体的にはＮｏ．１０でのご回答の中にあるように、 例えば要素数２では、 ∃ａ∈Ａ，∃ｂ∈Ｂからｆ：｛Ａ,Ｂ｝→ ∪{Ａ,Ｂ｝，Ａ |→ ａ，Ｂ |→ ｂ という「記号列」のことでしょうか？ もしそうだとすると、要素数が３のときその「記号列」とは、 ∃ａ∈Ａ，∃ｂ∈Ｂ，∃ｃ∈Ｃからｆ：｛Ａ,Ｂ,Ｃ｝→ ∪{Ａ,Ｂ,Ｃ｝，Ａ |→ ａ，Ｂ |→ ｂ，Ｃ |→ ｃ という「記号列」のことでしょうか？ もしそうだとして、上記「Ａ」の主張が、 要素数の増大につれて、個々の「記号列の長さ」も増大し、その「極限」は無限である、 ということだとすれば、これは正しいでしょう。 しかし、上記「Ａ」の主張が、 個々の要素数については、常に「記号列の長さ」は有限であるが、 集合族全体では無限個あるから、全体としての「記号列の長さ」有限ではない。 だから、集合族全体の「選択関数」を「有限記号列」で構成できない、 ということだとすると、これはどうもよく分かりません。 もしそのような主張だとしたら、全ての無限集合についての記述は、 それが「選択関数」に関係があってもなくても、それが証明であってもなくても、 その全体は常に「有限記号列」では記述できていない、ということになります。 （ある意味では、当たり前の内容ですが。） 例えで表現すると、 「全ての自然数は有限の数だが、その全体は有限集合ではない」 というような感じです。 すると、この言い方によれば、 「選択公理」も「有限の記号列」では表現できていない、 という事になるのではないでしょうか！？？ ですから、可算無限集合族については、 選択関数を「帰納的定義」で決めてやればよい、 でいいのではないでしょうか？ 「帰納的定義」自体は「有限記号列」で表現できていますし・・・ どうなのでしょう？