難解な共通弦なぞの証明

質問

Ｃ１：x^2 + y^2 =25　・・・　(1)
Ｃ２：x^2 + y^2 - x - 7y=0 ・・・　(2)
この二つの円の共通弦です。
なんか解答が(1)-(2)より
x + 7y = 25

そしてその後に
(1)-(2)なのかを説明した文？みたいなのを
板所しました。（違うかもｗ）
補足なのでしょうか。
駿台の授業ノート。時間なくて聞けなかったのです。
Ｃ１：x^2 + y^2 =25　
Ｃ２：x^2 + y^2 - x - 7y=0

Ｆ(x.y)=x^2 + y^2 =25　
Ｇ(x.y)=x^2 + y^2 - x - 7y=0

Ｃ１とＣ２の交点を(α,β)とすると
Ｆ(x.y)=0 Ｇ(x.y)=0　が成り立つ。

ここでpＦ(x.y)+qＧ(x.y)=0　・・・　★
というグラフを考える。
(p^2+q^2と０は等しくない）

[p(x^2 + y^2 -25　)+q(x^2 + y^2 - x - 7y-0 )=0]
このとき、
pＦ(α・β)+qＦ(α・β)＝p・0+q・0＝0
より★はＣ１　Ｃ２のすべての共有点を通るグラフ。
　→p=1 q=-1のとき
★⇔x+7y=25

というもの・・・疲れましたｗ
いったい何を証明しているのか
そして解答にもこれを書いて証明
する必要があるのでしょうか。
本当に(1)-(2)の証明？

回答No.5

mickel131 · ベストアンサー

先ほどの回答で少し書き足らないことがあるので、書き足しをします。

q=-p　のとき、
p（x^2 + y^2 - 25 ）+ q (x^2 + y^2 - x - 7y)＝0
という式は、
p（x^2 + y^2 - 25 ）- p (x^2 + y^2 - x - 7y)＝0
となるのですが、この式は、両辺をp で割ると、
（x^2 + y^2 - 25 ）- (x^2 + y^2 - x - 7y)＝0

つまり、（1）式から（２）式を引いた式になっていることに注意してください。
(1)-(2)　で、円(1)(2)の交点を通る直線になるのはこういうわけです。

それから、(p+q)が0でないときは、方程式
p（x^2 + y^2 - 25 ）+ q (x^2 + y^2 - x - 7y)＝0
は、円(1)(2)の交点を通る円になることも大事な点です。

回答No.6

scale--free

分かりにくい説明ですね。もう少し細かく書いてみます。

p,qを適当な実数としましょう。ただし、以下の議論でp,qがともに０だと意味を持たないので、そうではないとします。実数p,qを一組決めるごとに、平面上の集合
A(p,q) = { (x,y) | pF(x,y)+qG(x,y)=0 }
が定義できます。
この集合A(p,q)は円Ｃ１とＣ２の交点を含みます。
つまり、

(a,b)がC1とC2の交点　⇒　(a,b) ∈ A(p,q)

です。これはsyakedanaさんが習ったとおりで証明できます。
これから、集合A(p,q)はＣ１とＣ２の交点を含んだ何らかの図形(グラフでない！）を表わしていることが分かります。

で、もし p+q=0 となるような実数p,qを選んだならば(例えばp=1,q=-1)、集合A(p,q)は直線を表わしますが、この直線はＣ１とＣ２の交点をすべて含んでいます。
つまり、A(p,q)はＣ１とＣ２の共通弦となっているはずです。

ここでいくつか注意があります。
（１）p,qの選び方によっては、A(p,q)は円を表わしたりします。しかし、Ｃ１とＣ２の交点を通る円が実数p,qをうまく選べば集合A(p,q)として必ず書けるということはまだ保証していないので証明が必要です。
上で証明したことは、「A(p,q)が円になっているならば、それはＣ１とＣ２の交点を通る円である」、ということです。
（２）Ｃ１とＣ２の交点を含む集合の作り方はまだあります。たとえば、
{ (x,y) | p F(x,y)^3 + q G(x,y)^3 = 0 }
とか。

回答No.4

mickel131

x^2 + y^2 - 25 = 0　・・・　(1)
　x^2 + y^2 - x - 7y = 0 ・・・　(2)

一番大事なことは、円(1)(2)の交点の座標(x,y)は、
連立方程式(1)、(2)の実数解x,yだということです。

話の都合上、交点の座標を x=a , y=b としましょう。

交点は円(1)上の点だから、
(1)式は、x=a , y=b のとき成り立つのです。
つまり、(1)式に、x=a , y=bを代入した式
a^2 + b^2 - 25 = 0　
が成り立つのです。

同じように、
交点は円(2)上の点だから、
(2)式は、x=a , y=b のとき成り立つのです。
つまり、(2)式に、x=a , y=bを代入した式
a^2 + b^2 - a - 7b=0
が成り立つのです。

すると、これらの式の値は０ですから、p倍しても、ｑ倍しても0になるでしょう。
a^2 + b^2 - 25 のp倍も、
a^2 + b^2 - a - 7b　のq倍も0ですから、
これを加えて、
p（a^2 + b^2 - 25 ）+ q (a^2 + b^2 - a - 7b)＝0
となるでしょう。

ということは、x=a , y=b は、方程式
p（x^2 + y^2 - 25 ）+ q (x^2 + y^2 - x - 7y)＝0
の解にもなっているんです。
ということは、点（a,b）は、この長い方程式が表す図形上の点になっているということです。
この方程式が表す図形ってなんでしょうか？

この左辺は整理すると、
(p+q)x^2 + (p+q)y^2 - q x - 7 q y = 25p
となりますね。
(p+q)が0でないときは、両辺を、(p+q)で割っていいですから、両辺を(p+q)で割ってみたら、この式が円の式になることがわかりますね。
でも、(p+q)が0のとき、つまり、q=-pのときは、
この式を(p+q)で割ることはできません。
そのときは、この式に、(p+q)＝0　と、q=-p　を代入するとよいのです。
すると、　0x^2 +0y^2-(-p)x- 7 (-p)y = 25p
　　　　　px + 7py - 25p = 0
となりますが、pで割ると、
x +　7y　-　25　＝　0
つまり、q=-p　とした場合には、上の式は、円(1)(2)の交点を通る直線になるんです。

回答No.3

debut

(1)-(2) は、結局２つのグラフの共有点を求めるために連立方程式を解いているわけです。

x+7y=25 を(1)に再び代入して x , y の値を求めてもいいのですが、２円の場合は

それが、即、「共有点を通る直線の式になりますよ」ということを証明しているのです。

解答にはいちいちこの証明を書く必要はないでしょう。

回答No.2

shkwta

13行目の
＞Ｆ(x.y)=x^2 + y^2 =25
これは、
Ｆ(x,y)=x^2 + y^2 -25
の誤りです。

16行目の
＞Ｆ(x.y)=0 Ｇ(x.y)=0　が成り立つ。
は、
Ｆ(α,β)=0 Ｇ(α,β)=0　が成り立つ。
の誤りです。
--------------------
Ｆ(x,y)＝0
を満たす点の集合は、曲線Ｃ１です。
Ｇ(x,y)＝0
を満たす点の集合は、曲線Ｃ２です。

ですから、
「Ｆ(x,y)＝0 かつ Ｇ(x,y)＝0」
を満たす点の集合は、Ｃ１とＣ２の交点の集合です。

「Ｆ(x,y)＝0 かつ Ｇ(x,y)＝0」であれば、必ず
pＦ(x,y)＋qＧ(x,y)＝0
です。したがって、任意のp,qについて

pＦ(x,y)＋qＧ(x,y)＝0
を満たす点の集合は、Ｃ１とＣ２の交点の集合を含みます。

ここで、p=1,q=-1とすると
pＦ(x,y)＋qＧ(x,y)＝x + 7y - 25

よって、
x + 7y - 25 = 0
を満たす点の集合は、Ｃ１とＣ２の交点をすべて含みます。
この式は直線ですので、Ｃ１とＣ２の２つの交点を通る直線、つまり共通弦です。

以上でご理解ができると思います。
-----------------------------
※p^2+q^2≠0 というのは集合が平面全体にならないための条件です。

回答No.1

tatsumi01

(1), (2) の交点は二つありますが、これを (α,β) で代表させます。
★に、x =α、y = β を代入すると 0 になることはわかりますか。Ｆ(α,β)=0 Ｇ(α,β)=0 ですから。
★を実際に F, G の式で書き換えますと
◆ p(x^2 + y^2 -25　)+q(x^2 + y^2 - x - 7y-0 )=0
ですが、このグラフは必ず二つの (α,β) を通ります。
つまり、◆は二つの (α,β) を通る一般式です。これが直線になれば答えになりますから、２次の項を消すような p, q を求めたわけです。
ガチガチと (1), (2) の交点 (α,β) ２個を求め、それらを結ぶ直線の公式から出しても良いし、時間はかかるけど確実に答えは出ます。
この解き方は (α,β) を計算しなくても出る方法で面白い。