ばらつきのあるデータにおける最大値

質問

ばらつきのあるデータがあり、それを直線で結ぶと
小さくぎざぎざになります。全体としては、
曲線になり、ピークをもちます。そのピークの値を求めたい。
数学的に何かよい方法がありますか？
いままでは、グラフを書いて、目で見てピークを決定している
のですが。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

カーブフィッティングを行うのが常套手段です。もしカーブ全体の形が理論的に式で表され、その式の中に未知の定数が幾つか入っている、という状況であるなら、この理論式を当て嵌めてやります。
そんな式はない、という場合、データのピークがどんな格好をしているかによって、局所的な近似式をでっちあげて使います。なだらかで左右対称に近い形なら、たとえば放物線 y=A(x^2)+Bx+C をピークの前後大体数点～数十点のサンプルデータに最小二乗法で当て嵌めてA,B,Cを求め、この放物線の頂点をピークの位置とすれば良いでしょう。
サンプルを<t[j],f[j]> (j=1,2,.....) とし、当て嵌めの対象にする（ピーク近辺の）サンプルがj=K,K+1,.....,K+Nであるとします。
このとき、
ε[j] = A(t[j]^2)+Bt[j]+C - f[j]
と置いて、
S=Σ（ε[j] ^2)　　　（Σはj=K,K+1,.....,K+Nについての和）
とする。Sが最小になるようにA,B,Cを決めてやることは線形最小二乗法です。具体的には連立方程式
A Σ(t[j]^4)+ BΣ(t[j]^3)+ CΣ(t[j]^2) = Σ(t[j]^2)(f[j])
A Σ(t[j]^3)+ BΣ(t[j]^2)+ CΣ(t[j]) = Σ(t[j])(f[j])
A Σ(t[j]^2)+ BΣ(t[j])+ CN = Σ(f[j])
を解けば良い。ここにΣはいずれも（j=K,K+1,.....,K+N）についての和です。

お礼

カーブフィッティングという言葉をはじめて聞きました。
放物線の最小二乗法にあてはめるのをやってみたいと思います。
詳しい説明ありがとうございました。

回答No.2

catastrophe

ピークが何を差しているのかが、完全には分かりませんが
信号処理であれば、質問で上げられている曲線を最小自乗法等で
求めて、この曲線との差の２乗が最大の部位をピークとすれば
良いのでは？

回答No.1

noname#211914

自信がありませんが、「ピークをもつ」と言うことは、例えば上に凸の曲線になるのでしょうか・・・？

近似曲線を求めて、表示させてピークを求めては如何でしょうか・・・？

補足お願いします。

補足

説明がうまくないのですみません。
そのとおり、凸の曲線になる。