古典荷電粒子の運動

質問

私は物理を教える立場にある者ですが、すでに完成したといわれる物理学体系においても、謎だらけに感じる部分がいっぱいあります。そのいくつかを何回かに分けて皆さんにお尋ね・ご相談したいと思います。私だけの無理解なら喜ばしいです。
さて、空間中に、正負の点電荷が一組あります。それぞれの質量は古典力学が適用されるべき大きさ、例えばkgオーダーとします。それぞれの電荷の大きさは、２点電荷間の万有引力より十分大きいクーロン引力を与えるだけの大きさ、例えばクーロンオーダーとします。この２点電荷以外に力の原因はありません。そこで、慣性系を座標系にとり、２点電荷を結ぶ方向以外の適当な初速度を与えた条件の下、この点電荷のその後の運動を古典論的に決定する基礎方程式（運動方程式が書ければ一番いい）は記述できるか？これが最初の問題です。相対論や量子論は不要(？)ですが、電磁気的な作用は完全に考慮する必要があります。

回答No.4

guiter

補足です。

通常の力学では相互作用の瞬時の伝播という前提により、
それ自身の中にある不正確さを含んでいます。
実際には相互作用は有限の速度（光速度ｃ）で伝播し、
この伝播速度がどの慣性系から見ても同一である（相対性原理）ことや
Maxwell 方程式の座標変換による不変性などを考えると、
どうしても Lorentz 変換や相対性理論などが絡んでくることになります。

stomachman さんも書かれていますが
特殊相対論の論文名は「運動する物体の電気力学」です。
Einstein は古典力学と電磁気学の統一をしたわけです。

ここで、外場の中の電荷 e に対する Lorentz 不変な Lagrangian は
　L = - mc^2√(1-v^2/c^2) - eφ + e/c*(A・v)　　　　　　　　　　　…(1)
とかけます。（第3項のｖはベクトルでA・vは内積）
ここで、私のNo.1での回答は v/c のべきで展開したときの０次近似です。
相互作用の伝播速度が有限であることからくる
ポテンシャルの遅延を完全に無視しているわけです。
念のためもう一度０次近似の Lagrangian を書くと
　L0 = Σmi(vi^2)/2 - e1e2/r
ですね。

今度は２次まで考えてみます。
数式を書くのが大変なので結果だけですが、
　L = L0 + Σmi(vi^4)/(8c^2) + e1e2/(2r*c^2)*{(v1・v2)+(v1・n)(v2・n)}
のようになります。
（n はe1からe2へ向かう単位ベクトル、a・bは内積）
ただし、ここまでの精度ではまだ電磁波の放射は考慮されていません。
Lagrangian が粒子の位置と速度だけに依存し場の自由度を含んでいないことからもわかりますね。
実は、電磁波の放射およびそれによる場の発生は３次の近似で初めて現われます。

ご質問の「点電荷のその後の運動を古典論的に決定する基礎方程式」は(1)式ということになりますが、
この式から v、φ、A などを決定するためにはある程度近似しないと
（今回の近似とは逆に超相対論的近似も含めて）
解くことが出来ないということですね。

補足

貴重なお時間を頂き解説下さいましてありがとうございます。本質がだいぶ明らかになってまいりました。クーロン力以上の電磁気効果を取り入れるということは、とりもなおさず相対論を考慮することなのですね。
私が2体問題を持ち出したのは、容易に解けない問題を提案したかったからではありません。力学系の中で、自己完結的に議論できる最も簡単な系が孤立2体系であり、これが分かるようでなければ、物理の基本法則を知った気持ちにはなれないという信念（ただし物理教育的な立場からの）に基づいております。そして、今回考えたようなモデルは、（実現は難しいが）思考実験系としては極めて明確でリアルなものです。例えば、今度は、両方とも同符号の電荷にして、万有引力とクーロン反発力を完全に相殺させてみます。すると、スカラーポテンシャルはなくなり、貴兄のおっしゃる高次の項の効果がもろに効いてくると思いますが、もしこのモデルの運動が容易に予測できないのであれば、物理学の基本が完成しているとはとても思えなくなります。
長くなりました。貴兄の解説に関する疑問などもあるのですが、ご迷惑と思いますので控えます。相対論などについてもう少し勉強するのが先決と自覚しております。「お礼」の指定をすべきところですが、そうすると締め切ってしまうことになるらしいので、別の視点からのご意見や議論などの場として、もう少しこの回答受付を継続させて頂くことをお許し下さい。