数学苦手なので教えてください

質問

3000メートルの長さの、一定の厚みのテープがあります。
このテープを直径１１０ｍｍの巻芯に巻いた時の直径は４００ｍｍになります。
表面から何周（何枚）テープを剥ぎ取れば、２５００メートルになるでしょうか。

高校の数学で出来ると思うのですが、思い出せません。
また今後も、このような計算が何回も必要になってくるので、
計算過程も教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.3

springside · ベストアンサー

巻いていくと徐々に半径が大きくなるため、単純にはいかないと思います。

以下、単位は全てmmとします。

まず、テープの厚さを求めます。
厚さをtとおくと、No.1さんのように面積を比較して、
　3000000t = π×200^2 - π×50^2
なので、
　t ≒ 3.872×10^(-2)
となります。

次に、巻芯に巻いたときを考えます。

１周目の長さ　2×π×55 = 110π
２周目の長さ　2×π×(55+t) = 110π + 2πt
３周目の長さ　2×π×(55+2t) = 110π + 4πt
４周目の長さ　2×π×(55+3t) = 110π + 6πt
　・・・・・
Ｎ周目の長さ　2×π×(55+(N-1)t) = 110π + 2π(N-1)t

となるので、これを全部足すと、

110π×N + 2πt(1+2+3+・・・N-1)
=110πN + 2πt×(N-1)N/2　（←等差数列の和の公式利用）
=πtN^2 - π(110+t)N

となって、これがテープの長さ3000000mmに等しいので、

πtN^2 - π(110+t)N = 3000000
πtN^2 - π(110+t)N - 3000000 = 0

となり、このNの２次方程式を解の公式で解くと、

N ≒ 6586.4

となります。

一方、500メートル分（巻芯側に残る分）が何周かを求めるため、上記と同じように考え、M周とすると、

πtM^2 - π(110+t)M - 500000 = 0

となるから、

M ≒ 3896.7

となります。

よって、2500メートル分は、

　N-M ≒ 2689.6周

となります。

お礼

でも、springside さんの方法で、表面から５００メートル分を剥ぎ取る計算をしたら、約４１５枚剥ぎ取ればよいという結果になりました。

これはNo.1、No.2さんの面積からテープの厚さを求める方法で計算しても、
同じ結果になりました。

実際には、テープを巻き始めてから巻き終わるまでに、テープの張力を強くしていくのですが、この程度の誤差は許容範囲で、計算結果は十分実用的な数字のようです。

みなさん、大変ありがとうございました。

補足

説明不足でした。
剥ぎ取った残りが２５００メートルとなるように、ということでした。

回答No.2

DIGAMMA

こんにちは、

中学レベルでの、考え方のみアドバイスします。

　トイレットペーパーを横（丸く見える方）から眺めると、その面積と使った長さは比例します。つまり面積の問題に置き換えれば良いのです。

　円の面積の公式、半径かける半径かける３．１４はOKですね。

　１１０mmの穴の開いた４００mmの円の面積を求め、
その面積の６分の５（=2500/3000）になるような、同様の穴のあいた円の直径を求めてください。

　直径の差を「周」に変えるのには「厚さ」が必要ですが、テープの場合、面積を長さで割ると、厚さが出てきます。

　ご参考まで、（計算は自分でお願いね）

回答No.1

shkwta

テープを横から見たときの面積で計算すればよいと思います。

直径400 mm の円の面積は　200^2 π　mm2
（^2 は２乗、πは円周率、mm2 は平方ミリメートル）
直径110 mm の巻芯の底面積は 55^2 π mm2

したがって、テープ部分の面積は、(200^2 - 55^2)π　mm2　となります。これは、長さ3000 m のテープを横から見たときの面積に等しいです。したがって、これをテープの長さ 3000000 mm で割れば、テープの厚さが算出できます。

テープの厚さがわかれば、長さ 2500000 mm のテープを横から見たときの面積は、2500000 mm ×厚さ　です。テープを剥ぎ取るときに、横から見た円の面積がこれだけ分減れば、2500 m を剥ぎ取ったことになります。そのときの半径の減少分を厚さで割れば、何周分かがわかります。

このように、横から見た面積に置き換えて計算すると簡単です。

実際のテープでは、材料の伸び縮みが影響して、誤差が生じるかもしれません。