極限

質問

lim x→1 [-(x＾2)＋2x＋2] 〔〕はガウス記号です

答えは２にですが自分の解き方と答えが合いません。
lim[x→2][-x^2+2x+2]
=lim[x→2][-(x-1)^2+3]
=lim[t→1][-t^2+3]
(t-1=xと置いた)
ここで
lim[t→1+0][-t^2+3]=lim[t→1+0]1=1
lim[t→1-0][-t^2+3]=lim[t→1-0]2=2
よってlim[x→2][-x^2+2x+2]は存在しません
ではないのですか？

回答No.3

BO-BO-keshi

こんばんは！

まずboku115さんがの質問されている極限の式と、式変形の最初の式が違います！これを以下のように訂正した上でコメント致します。

lim[x→1][-x^2+2x+2]
=lim[x→1][-(x-1)^2+3]
=lim[t→0][-t^2+3]
(t-1=xと置いた)
ここで
lim[t→+0][-t^2+3]=lim[t→1+0]1=？
lim[t→-0][-t^2+3]=lim[t→1-0]2=？

ということになります。ここまではばっちりだと思います。では？は一体いくつになるでしょうか？

極限を考える上で最も大切なことは「ｔを０に近づけるだけで、ｔを０にするのではない」ということです。０に近づけるのと、０を代入した値は一致するんじゃないのか？と思われるかもしれませんが、この問題が良い例で、一致しない場合があるのです。tが0の時は確かに3になりますが、0のすぐそばの値（少し大きいもの・小さいもの両方）をtに代入することを考えてみて下さい。ガウス記号の中身の値が3より少し小さい値になるので、ガウス記号の意味から式全体の値は2になると言えます。

つまり、tを0近づけるだけなら式の値は2ですが、tが0になったとたん式の値は3になってしまうわけです。

「近づける」のと「代入する」ので結果が異なるか否かは、グラフが連続であるか否か（グラフが一本の線でつながっているか否か）によります。つまりこの問題のような、連続でないグラフを持つ関数の極限を考える時は注意が必要だと思います。

詳しく書きましたが、余分なことをしゃべってたらすみません！お役に立てれば幸いです。

回答No.2

proto

＃１の方の回答で合ってると思います

『x→1』の意味は、『xが1でない値をとりながら限りなく1に近づく』ですから
必ずしも
　　lim[x→1]f(x)=f(1)
となるとは限りません

この場合
x→1の近くで-x^2+2x+2→3
より
『x→1のとき-x^2+2x+2は3でない値をとりながら限りなく3に近づきます』
つまり-x^2+2x+2=tと置くと
x→1でt→3です
しかし
[t]はt=3で連続ではないですから
　　lim[t→3]{[t]}=[3]
とは限りません
実際x=1の近くでt<3より
　　lim[t→3]{[t]}=lim[x→1]{[-x^2+2x+2]}=2
　　　　　　　　　　≠[3]=3
となります

回答No.1

pyon1956

あれ？x→１じゃなかったのかな？１行目と２行目以下が違う式になってますからあわないのはあたりまえですよ？
１行目の問題なら
lim x→1 [-(x＾2)＋2x＋2]＝lim x→1[-(x-1)^2+3]
(x-1)^2はx=1のとき０、0<x≦2のとき0<(x-1)^2≦1なので、
x=1のとき-(x-1)^2+3=3、0<x<2(x＝１をのぞく）のとき2≦-(x-1)^2+3<3
ゆえにx=1の近傍で恒等的に[-(x＾2)＋2x＋2]=2になっていますから答えは２です。
ちなみにあなたのやりかたでやるのならt→１じゃなくてt→０です。それならあいますよね。

補足

ごめんなさい
混乱してきました
lim x→1 [-(x＾2)＋2x＋2]＝lim x→1[-(x-1)^2+3]
からｘ＝１を代入して3ではないですか？

分からなくてなってきました
すいません