テレビ番組内での確率の計算について

質問

先ほど、テレビで奇跡的な実話を挙げて、それは奇跡か否かを実験などで検証する番組がやってましたが、その中で出てきた確率の計算が本当にそうなのか不思議に思いました。内容は
「５０年前に生き別れたきり会えなかった恋人同士がいる。男性は今も彼女を愛し、会いたがっている。その話をフトしたことから全く無関係だった雑誌記者が、知り興味をもつ。そして男性に直接会い、彼女を捜す事になる。が２年探し続けても見つからない。ある日記者が電車に乗っていると、たまたま隣り合わせた老婦人が声をかけてきた。話をしてみたところ、なんと偶然にもその老婦人が目的の彼女だったという事が分かる」

これは奇跡なのかどうか？と、言うことで番組に出てきた先生が
「一人の人の知り合いは約５００人。その知り合い達にも各５００人ずつ知り合いがいる。ニューヨークに５００万人の人がいるとしてたまたま隣り合わせた人、すれ違った人が知り合いの知り合いである確率は３／１００です」
と言っていました。実際にある俳優を実験台に立て、検証したところ確かに１００人中２人が俳優と知り合いかそのまた知り合いだったので、恋物語は奇跡ではない。と結論されていました。
でもこれは正しいのでしょうか？遙か昔高校時代に習った確率統計で、誰かれ構わず知り合いを探した場合と、この人と決めて探した場合では確率は異なると習った気がするのです。
この記者の場合はこの老婦人と決めて探していたのだから、その本人とたまたま隣り合わせる確率はもっと下がったりはしないのでしょうか？
自分で昔々習った確率を思い出しながら計算しようとしたのですがよく分からず、質問させて頂きました。

回答No.3

SUPERS · ベストアンサー

「知り合いに出くわす確率」と「無作為抽出した人が知り合いである確率」
とは全く別物ではないでしょうか？
知り合いに出くわす確率というのはどう計算するのかもわかりませんが。
対象期間、行動範囲、乗り物に乗る頻度、時間帯など考え上げれば
限がありません。数学では全ての事象の場合を想定しないと確率には
なりません。出くわす確率はゼロではないにしろ「奇跡的」と言える出来事
と思わざるを得ません。
「宝くじを買った人」への期待値なら計算できるのですが。
したがって、この種の問題は、「ある人が宝くじで大金を手に入れる確率」というようなことと同じでしょう。そのある人が何所で宝くじを買うか・買わないかもありますし、当たったけど換金しなかったり。人の行動により変化する
予測がし難い事象があまりにも入り込んでいます。
と言いつつ、
極限値としての値なら計算できるかもしれません。
それこそ期間は無制限。いつかは出会えることにすれば。この場合、場所の制限は無視できます。いつかはそのような場所へ行くことがあり、そのような隣に居ることもある、と。全く実用的ではない値でしょう。

回答になっていなくてすみません。

お礼

>回答になっていなくてすみません。
いえいえ、とても参考になりました。ご回答頂きありがとうございます。

31415926様にお礼を書いた後にもよくよく考えてみたのですが、お二方の言われるように場所や時間等々様々な場合を考えるのは決して避けてはいけない事だったんですね。
そして決して私の考えたような2/100(後で思ったんですが、あえて「知り合いに出会う確率３％」を使うならここは2/99を使うべきでした。)と1/500をかけて2/50000が答えだ！などと簡単に出るようなものではないと言うことも分かりました。
つまり、元々の質問に戻るのですが、「無作為に抽出した人達に知り合い同士がいる確率」と「特定の人に出会う確率」は同じではない。よってこの番組内では、違う計算で出てきた答えをあてはめて結論にしてしまったという事になるんですね。
一つ、誤解をされる書き方をしてしまったのが気になりました。決して番組に出てきた先生が上記のような間違いを犯した訳ではなかったと思います。先生は「無作為に抽出した１００人の中に３人知り合い同士がいる。」とは言われておりましたが、それをこの恋物語に結びつけて言ってはいませんでした。推測ですが、恐らく番組制作過程でどなたかが間違えて解釈されたのかと思います。。

回答No.2

31415926

この手の確率は数学的な問題になりにくいと
思います．なぜかというと，何をもって
「奇跡がおこった」の定義とすべきかわからない
し，試行の定義も不明だからです．
この例の場合，２年後でなくても
1年後でも，3年後でも，10年後に起こっても奇跡
であります．あるいは老婦人の子供や兄弟に
会えた!と言う場合でも奇跡であります．あるいは
地下鉄の中でなく，バスの停留所，劇場の前で
出会ったとしても奇跡です．
記者の方が毎日電車に乗り，よく
隣の人とお話をする人だったとしたら何回も
老婦人を探すという試行をしてる，と考える
ことも出来るわけです．
だから500万分の1と単純には多分いきません，
一方，この男性の別の知り合いが老婦人の知り合いの
隣にいてもなにも話さなければ奇跡はおこってないわけで，
そういう意味で3/100というのもおかしな話です．

なので奇跡かどうかはわかりません．
しかし確率が非常に低いことは確かだと思います．
(適当に感覚的に言ってますが)
じゃあどれくらいなのかって！？
うーん，それはわかりません...
数学のカテゴリーでは答えられないでしょうね...

お礼

なる程、、奥深いものだったんですね・・
ご回答を頂きありがとうございます。
回答を読ませて頂いて考えてみたのですが、奇跡かどうかはありとあらゆる場合を考えないといけないのかも知れないのですね・・

すみません、私の頭では現時点では整理しきれないので今回は番組内で先生が言われていた定義等を使って、単純に確率の数値だけの話をさせて頂きたいと思います。改めて考えた事を書かせて頂きます。
番組では
「一人の人に５００人の知り合いがいる」と定義しており、確率に関しては「無作為に抽出した１００人の中に３人知り合い同士がいる。だから自分が探した場合は１００人中２人が知っている人か知り合いの知り合いである。」という内容の事を言っておりました。
それを使うとしたらですが、
町中ですれ違った１００人のうち２人が、自分の探している知り合いの一人、つまり５００人のうちの一人である確率を出すと答えになる。
のではないかと思いました。単純に2/100と1/500をかける・・で良いでしょうか？つまり数値だけの問題で行くと2/50000？になるんでしょうか？でも普通に考えて500万分の１であるという感覚もどうしても消えません・・

回答No.1

funifuni11

その番組ではつまり、
「電車で隣り合った老婦人が、捜し求めていた人である確率は3/100である」
と主張していたのでしょうか?
だとしたら明らかな間違いですね。100回電車に乗ったら3回もその老婦人と隣り合わせになるなんてことがそもそもありえないですからねー。

あなたのいうとおり、「ある特定の人が電車で隣に座る確率」と、「知り合いの知り合いが隣に座る確率」は全く違います。

単純に考えれば、ニューヨークに500万人の人がいて、その中に捜し求めている人がいるとすれば、電車で隣に座る確率は500万分の1でしょう。だからテレビに出るほど奇跡的な出来事なんですよ。

お礼

とても分かりやすい回答をありがとうございます！
確かに５００万分の１ですよね。それに気づきませんでした・・・
番組では３％も確率があるんだから別に偶然電車で隣合わせた人が２年探し続けていた人でも奇跡じゃないという結論でしたので
「電車で隣り合った老婦人が、捜し求めていた人である確率は3/100である」というような主旨だったと思います。

補足

すみません！訂正いたします。お礼のところで
番組は「電車で隣り合った老婦人が、捜し求めていた人である確率は3/100である」という主旨でした。
と書きましたが、番組での俳優を使った検証内容などをよく思い出して考えてみたら
「人口５００万人の都市で不特定多数の人がいる中で、すれ違ったり隣り合わせたりする人の中に老婦人がいる確率が3/100である」
という主旨だったと思います！