微分積分は足し算と掛け算を媒介していませんか

質問

指数法則や対数が足し算と変え残を媒介しているように思っていましたが微分や積分にも同じようなはたらきがあるように思うことには根拠はないでしょうか。

回答No.2

betagamma · ベストアンサー

＞指数法則や対数が足し算と変え残を媒介しているように
つまり、指数を定義するためには、かけ算を定義しないといけなくて、対数を定義するためには、かけ算・足し算が定義されていないといけない・・・といったような話でしょうか？
ちゃんとした言葉でいうと、加法・乗法が定義されて、その上で、指数が定義されて、xxという法則がなりたつ、とかいうような話は、代数学とか群論とかいう分野になります。
で、ここでは、微分・積分にも同じような働きがあるのでは、ということですね。
微分・積分ともに、厳密には極限の一種です。つまり、微分・積分を求める形をした特殊な極限が定義される→微積分可能・不可能、という結論に、平たく言えばなります。
積分だけに限定しますと、実は高校数学・大学での普通の数学でやるのは、リーマン積分といわれるもので、あまり完全な積分ではありません。あまり完全でないというのは、どういう意味かと言いますと、積分不可能な関数が多いということです。例えば、簡単な例でいくと、f(x)=xが有理数の時は1,それ以外では0というようなf(x)を定義して、0から1まで積分しようとすると、この積分値はリーマン積分（普通のやり方）では定義できません。ルベーグ積分という、ちょっと特殊なやり方をすると、定義できるようになり、積分値は0になります。

で、たぶん、実数というのは、代数学の考え方でいくと、実数無限個の元がある体とかになるので、その上で微分・積分が定義できるかどうか、とかいうのは、立派な問題になると思います。

お礼

難しいお話でしたが，改めて勉強への意欲が刺激されました。有難うございました。

回答No.1

endlessriver

１．質問の意味がわかりません。
なぜそう思うのか説明すべきです。
２．が、対数は剰余算を加減算に変換して計算を簡便化することができます。
微分積分にはそれに対応するものは思いつきません。
３．関係ないけど、かって、計算には計算尺や丸善の対数表を使って苦労した記憶が蘇った。結局、桁をギリギリまで出そうとすると大変なんだよねー。
挙げ句の果ては精度が必要なときはタイガー計算機をガチャガチャ回して．．．！　いまは電卓があって天国だね。
その分、勉強してね。

お礼

質問の意味が自分でも的確に表現できないので改めて勉強させて頂きます。ご回答有難うございました。