1/3乗などの計算方法

質問

1/3乗などの計算方法を教えてください。
パソコン上でなく、手計算の計算方法が知りたいです。
また、(小数)乗の計算の方法についても教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

o_pato · ベストアンサー

xのa乗をx^aと書くことにします。

x^aをテイラー展開することを考えます。
aが整数でないときには、x=0の周りで展開することは出来ないので、
x=1の周りで展開すると（収束半径は１）、

x^a=Σa(a-1)(a-2)…(a-n+1)/n!・(x-1)^n

となります(収束に関して適当ですが)。

もしかするとテイラー展開をご存知でないかもしれないので、
結果だけもう一度書いておくと、

aを任意の実数とすると、0＜x≦2のもとで、

x^a=1+a/1!・(x-1)^1+a(a-1)/2!・(x-1)^2+…+a(a-1)(a-2)…(a-n+1)/n!・(x-1)^n+…

x>2のときには、適当な2^nをくくりだすと良い。
例えばx=10なら、

x=2×2×2×(10/8)

なので、

x^a=(2^a)^3×(10/8)^a

以上、ぜんぜん厳密にやっていないので間違っているかもしれません。

以下、実際に計算してみました。
x=2として最初の１１項だけ計算しています。

aの値　求まった値　実際の値

0.1　　1.0682　　　1.0718
0.2　　1.1435　　　1.1487
0.3　　1.2256　　　1.2311
0.4　　1.3144　　　1.3195
0.5　　1.4099　　　1.4142
1.5　　2.8291　　　2.8284
2.5　　5.6566　　　5.6569

a<0のときは収束がよくないようなので、
まず逆数から求めたほうが良いかもしれません。

お礼

回答ありがとうございました。
詳しい解説ありがとうございます。
活用させていただきます。