1/3乗などの計算方法

質問

1/3乗などの計算方法を教えてください。
パソコン上でなく、手計算の計算方法が知りたいです。
また、(小数)乗の計算の方法についても教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

o_pato · ベストアンサー

xのa乗をx^aと書くことにします。

x^aをテイラー展開することを考えます。
aが整数でないときには、x=0の周りで展開することは出来ないので、
x=1の周りで展開すると（収束半径は１）、

x^a=Σa(a-1)(a-2)…(a-n+1)/n!・(x-1)^n

となります(収束に関して適当ですが)。

もしかするとテイラー展開をご存知でないかもしれないので、
結果だけもう一度書いておくと、

aを任意の実数とすると、0＜x≦2のもとで、

x^a=1+a/1!・(x-1)^1+a(a-1)/2!・(x-1)^2+…+a(a-1)(a-2)…(a-n+1)/n!・(x-1)^n+…

x>2のときには、適当な2^nをくくりだすと良い。
例えばx=10なら、

x=2×2×2×(10/8)

なので、

x^a=(2^a)^3×(10/8)^a

以上、ぜんぜん厳密にやっていないので間違っているかもしれません。

以下、実際に計算してみました。
x=2として最初の１１項だけ計算しています。

aの値　求まった値　実際の値

0.1　　1.0682　　　1.0718
0.2　　1.1435　　　1.1487
0.3　　1.2256　　　1.2311
0.4　　1.3144　　　1.3195
0.5　　1.4099　　　1.4142
1.5　　2.8291　　　2.8284
2.5　　5.6566　　　5.6569

a<0のときは収束がよくないようなので、
まず逆数から求めたほうが良いかもしれません。

お礼

回答ありがとうございました。
詳しい解説ありがとうございます。
活用させていただきます。

回答No.7

Tacosan

1/3乗を筆算で求めるのは大変ですが, 一応方法はあります.
1/2乗 (平方根) の場合には (x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2 なので, 商として x がたっているときに 2x を脇に記録しておいて, どんな a がいいかを「めのこで」見付けます. これを修正して
(x + a)^3 = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3 なので, 商として x がたっているときに 3x^2 と 3x を脇に記録しておき, どんな a がいいかを「めのこで」見付ける というものです.

算盤でもほとんど同じで, やはり 2x や 3x^2, 3x を脇においたような気がします.

お礼

回答ありがとうございました。
この考えをこれから活用させていただきたいと思います。

回答No.6

shkwta

No.5です。
最後の行の分数が逆でした。訂正します。
f(x) = x^2 - A/x

回答No.5

shkwta

Aの1/3乗の高精度な公式として、次の式があります。
Ｘ＝x(x^3 + 2A)/(2 x^3 + A)

適当に見当をつけた近似値をxにいれてＸを求めます。さらに高精度にするには、Ｘをもう一度xに代入します。
(例）
２の立方根　
　x=1 としてＸ=1.25
　x=1.3としてＸ=1.259946824
　真の値は1.259921049...

５の立方根
　x=2 として Ｘ=1.714
　x=1.7 としてＸ=1.709975717
　真の値は1.709975946...

７の立方根
　x=2 として　1.913
　x=1.9 としてＸ=1.912930784
　真の値は1.912931182...

この式は f(x) = x^2 - x/A のニュートン法に相当します。

お礼

回答ありがとうございました。
詳し解説ありがとうございます。
この考えをこれから活用させていただきたいと思います。

回答No.4

BLUEPIXY

f(x)=x^3-a
f(x)=0となるようなxを求めるのには、
ニュートン法を使うといいと思います。
結構早く、イイ値になります。
適当な初期値ｘ＝ｘ１（例えばａ／３とか）から初めて
ｘn＝ｘ－f(x)/f'(x)
として逐次xにｘｎを代入します。

お礼

回答ありがとうございました。
この考えをこれから活用させていただきたいと思います。

回答No.2

quads

実際の値を小数点以下第何十位までも求めるのは難しいですね。

cbr(x)を考えるとき、xの前後の値となるa^3とb^3を考えて二分法のように計算していく方法もありますね。

x^(1.1)という計算でも、root(10,x^11)という考えだと手計算は大変ですね。

参考URL：

http://yosshy.sansu.org/cbr.htm

お礼

回答ありがとうございました。
早速、教えていただいたURLを参考にしたいと思います。

回答No.1

530529

平方根の筆算による求め方は、下記ＵＲＬに有りました。
昔無線の試験勉強と中学校の時に習いましたがさすがに立方根は知りません。
でもきっと昔の人は手とか算盤で求めたと思いますので、有るんでしょうね。
とても面倒くさいそう。

参考URL：

http://www.kinomise.com/sokuryo/zatsu/zatu01.pdf