円の接点の方程式で(x1,y1)が円の中にある時この方程式が表すものは・・・ｘ＿ｘ

質問

こんばんわ。
いつもお世話になっています。
円を（0,0）を中心として・・・
数学で接線の方程式（x1x+y1y=r^2)で
(x1,y1）が円周上にあるときこの方程式は
その接線の方程式を表して、(x1,y1)が円の外にあるときはその二点の接点を通る方程式を表すと書いてありました。
ここで(x1,y1)を円の中にとったときこの方程式は何を意味するのでしょうか？
(x1,y1)=(正の数、正の数)でやってみたところ
円には接しず円から離れたところに直線が描けます。
この式が表すもの、また証明する方法があれば宜しくお願いします。（どちらか一方でも構わないので・・・。）
お願いしますｘ＿ｘ。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

今、円Ｃ:x^2+y^2=r^2と円の外部の点P2(x2,y2)が与えられているします。

この時、直線x2x+y2y=r^2というのは、以下の順番で辿ると見つかる直線L1のことです。(ちょっと遠回りしますが)

直線L2をOP2に垂直でP2を通る直線とします。
↓
P2を通る円Ｃの接線
↓
二つの接点を通る直線※を考える
↓
原点からこの直線に下ろした垂線の足をP1(x1,y1)とします。
↓
直線L1をOP1に垂直でP1を通る直線(＝※の直線)とします。

で、円の内部の点P1(x1,y1)が与えられているとき、
直線x1x+y1y=r^2
は、上に書いた事を下から上へと辿ると見つかる直線L2のことを指します。(証明はご自分で)

つまり、P2にはL1が対応して、P1にはL2が対応します。

P1とP2を一つのペアと考えれば、(円周上の点は自分自身とペアを組むとする)

原点以外の点P(p,q)に対して、
px+qy=r^2
という直線は、「ペアの相方を通り、"原点と自分(or原点と相方)を結ぶ直線"に垂直な直線」となります。

原点とP1の距離をＲとすると、Ｒ≠ｒのとき、
PP1:PP2=R:r
を満たす点Ｐの集合(アポロニウスの円)はx^2+y^2=r^2になっているみたいなので、このことを使った説明もできるかもしれませんね。

お礼

＃1.2.3の皆さん、いろいろな回答ありがとうございました。
もう少し様々な回答を聞き、締め切りたいと思います。
参考になります|＾～＾●)ノ

回答No.2

shkwta

(x1, y1)を円Ｃの内部の点とするとき、x1, y1を適切に選べば x1 x + y1 y = r^2は「円に交わらず、かつ接しない任意の直線」を表わすことができます。
（証明）
円Ｃに交わらず、かつ接しない任意の直線Ｌがあるとき、原点を中心としＬに接する円をＤとする。ＤとＬの接点を(m, n)とするときＬの方程式は mx+ny=m^2+n^2
ここでk=(m^2+n^2)/r^2 とすると k > 1　であり、Ｌの方程式は
(m/k)x + (n/k)y = r^2
ここで、(m/k)^2 + (n/k)^2 = r^2 / k ＜ r^2 ですから、(m/k, n/k)は円の内部の点です。

回答No.1

leige

円の内部にある点B(x2,y2)について
(x2,y2)=b(x1,y1)(0<b<1)とおくとき

x2x+y2y=r^2はx1x+y1y=r^2/b^2とあらわせるので

x1x+y1y=r^2に平行で(x1,y1)/bを通るような気がします