高１★高次不等式

質問

火曜日に実力テストがあるのですが・・・
下記の不等式の解き方がどうしても分かりません。
教えてください(o*。_。)oペコッ

x3乗-(a+1)x2乗+(a-2)x+2a≦0
　ただしa＞0とする

ちなみにxはエックスです。分かりにくくてごめんなさい。

回答No.6

Rossana · ベストアンサー

★グラフ以外の考え方
(x+1)…x=-1で＋，－分かれる
(x-2)…x=2で＋，－分かれる
(x-a)…x=aで＋，－分かれる
数直線を描いて
左側に縦に
(x+1)
(x-2)
(x-a)
(x+1)(x-2)(x-a)
と書いてマスを作って＋，－を書き込んで表を作るのもいいかと思います．ちょっと説明が抽象的で分かりにくいかもしれませんが．

補足

分野は数(2)の『複素数と方程式』の章末の補充例題です。
やっと分かりました！！
本当にありがとうございます＼(●⌒∇⌒●)／

回答No.5

Rossana

今気付いたのですが，気付くの遅いf^^;高1ということで、3次関数はまだ習っていないのでしょうか．というかたぶん微分を習っていないので増減表も知らないでしょうね．チャートなどの参考書を持っていたら自分で予習するのもいいでしょう．3次関数は参考URLの一番下のようなグラフになります．今はなぜこういうグラフになるか知らなくていいので，高2になってその分野を習ってからあっこういうことでグラフが描けるんだということを思い出して下さい．でも何故3次不等式が？どの分野の問題ですか？

☆補足回答
>なぜ『2』という数字が出てきて場合分けされるのかがわからないです。
2≦x≦a
と
a≦x≦2
ではこのようにaと2の順序が変わってしまいます．そのためこのような『2』を境界とした場合分けが生じます．

参考URL：

http://cgi3.tky.3web.ne.jp/~sbrain/jp/mathbrain/sidouan.shtml

回答No.4

eliteyoshi

そうですね。場合分けでa=2のときも考えなければいけませんね。うっかりしていました。答えは

ⅰ)a>2のとき
x≦-1, 2≦x≦a
ⅱ)a=2のとき
x≦-1
ⅲ)a<2のとき
x≦-1, a≦x≦2

となります。

●場合分けをする理由
　この問題ではaは変数で、a>0という条件が問題で与えられています。
　a=2の場合を除いたy=(x+1)(x-2)(x-a)の図を書くとx軸と3次曲線との交点は3つになります。a>0という条件から一番左の交点はx=-1で確定します。しかし、2番目の交点と一番右の交点は、aが2より大きいのか小さいのか分からないため確定できません。よって、上記のⅰ),ⅲ)のように場合分けするのです。またさらにaと2が等しい(a=2)場合も当然あるわけですから場合分けの条件に上記のⅱ)を入れなければなりません。この場合、曲線はx=2でx軸に接しています。

お礼

とても丁寧に、ありがとうございます（＾□＾＊）
でも・・・申し訳ないことに・・・
２次関数までしか図は書いたことがないので【・_・?】
図を書かないと『２』という数字は出てきませんか？
因数分解をした時の（x+1)(x-2)(x-a)≦0
の答えと、場合分けはどのように関連しているのですか？？

回答No.3

Rossana

どうしてa＞2，a＝2，a＜2で場合分けをするかですが，

a≠2⇒f(x)=(x+1)(x-2)(x-a)：3点でx軸と交わる

a＝2⇒f(x)=(x+1)(x-2)(x-a)=(x+1)(x-2)^2：1点でx軸と交わり1点でx軸と接する

のように形状が異なるからです．

また，このように考えてもいいですよ．
例えば，a＝2をa＞2にまとめてa≧2として，この場合に含めてしまえば
x≦-1, 2≦x≦2
となります．
でも
「2≦x≦2」
とは書かず，これは
「x=2」
と書きますよね．
表記が異なるから分ける必要があると考えてもいいかもしれません．

補足

エックス軸に3点で交わる図を書いたことがないので・・・イメージが全くつかめません。（申し訳ないです）
なぜ『2』という数字が出てきて場合分けされるのかがわからないです。

回答No.2

Rossana

x=-1を代入すると左辺の値は0になるので，因数(x+1)を持っていると分かります．
このあとは参考URLの組み立て除法を使えば因数分解を機械的に行う事ができます．
因数分解したあとは#1さんのおっしゃられるように計算すればいいです．aの値が分からないので場合分けが必要となります．

参考URL：

http://genryu.cside4.com/yoshitago/kyuguza2/kumizyo.htm

お礼

ありがとうございます（●＾∪＾●）
因数分解までは理解できました♪♪

回答No.1

eliteyoshi

x^3-(a+1)x^2+(a-2)x+2a≦0

上式の左辺を因数分解します。
(x+1)(x-2)(x-a)≦0

よって、図を書けば一目瞭然で

ⅰ)a>2のとき
x≦-1, 2≦x≦a
ⅱ)a<2のとき
x≦-1, a≦x≦2

となります。

お礼

ありがとうございます(o*。_。)oペコッ
問題集の答えにはa=2の時にも場合分けしてあったのですが・・・
どうしてa＞2　a＝2　a＜2
で場合分けをするのですか?(゜_。)?(。_゜)?
お願いしますm(。_。;))m ペコペコ…