複素積分～フィボナッチ？ (その２・その３）

質問

前回
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=110649
で

『zを複素数とする時、数列x_n(n=0,1,2,..., x_nは実数)に対する変換X(z)を以下のように定義する。
　　　　X(z) = Σ_n=0~∞ x_n z^(-n)
この時以下の問いに答えよ。
(1) |z|>Rの領域において、X(z)は収束するとする。この領域内の原点を含む閉曲線をCとする時、逆変換は
　　　　x_n = (1/2πi) ∫○C X(z) z^(n-1) dz　　　　（∫○CはCを経路とする周回積分記号のつもり。）
となる事を証明せよ。
(2)x_n+2 = x_n+1 + x_n (n=0,1,2,..., x_0=x_1=1)の時、X(z)を求めよ。
(3)前問で求めたX(z)を逆変換する事によって、x_nを求めよ。』

の(1)について解答を頂き解決しました。
ひきづづき(2)(3)に関して教えてください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

[1] x_n+2 = x_n+1 + x_n
の両辺に z^{-n} をかけて n=0～∞ の和を取る．
x_n のところは X(z) そのもの．
左辺は
[2]　Σ_{n=0}^∞ x_{n+2} z^{-n}
　　　= z^2 Σ_{n=0}^∞ x_{n+2} z^{-n-2}
　　　= z^2 [ Σ_{m=0}^∞ x_m z^{-m} - x_0 - x_1 z^{-1} ]
　　　= z^2 [ X(z) - x_0 - x_1 z^{-1} ]
になる．
途中で m=n+2 とおいている．
もともとは m=2～∞ だが，m=0～∞ にして，m=0,1 の分を引いて修正した．
同様にして
[3]　Σ_{n=0}^∞ x_{n+2} z^{-n}
　　　= z [ X(z) - x_0]
[1]に代入整理して，x_0 = x_1 = 1 を使えば
[4]　　X(z) = z^2 / (z^2 - z -1)
これが(2)の答．

X(z) がわかったから
[5]　　x_n = (1/2πi) ∫○C X(z) z^(n-1) dz
に代入すればよい．
積分路は十分大きな |z| で一周するようにとる(後述)．
１位の極 z = α,βが積分路中にあるから，そこでの留数を拾えばよい．
[4]の分母を
[6]　　z^2 - z - 1 = (z -α)(z -β)
[7]　　α = (√5 + 1)/2,　　β=(-√5 + 1)/2
と書いて，
[7]　　∫○C X(z) z^(n-1) dz
　　　　= ∫○C {z^(n+1) / (z -α)(z -β)} dz
　　　　= 2πi [α^{n+1}/(α-β) + β^{n+1}/(β-α)]
あとは，整理して
[8]　　x_n = (1/√5) (α^{n+1} - β^{n+1})
が求める答．

十分大きな |z| で一周するように積分路を取るのは，
最初の級数 X(z) の収束条件と関係がある．
"収束半径" (今は逆べき級数だから，|z|>R なら収束，ということになる)
のＲがちょうどαになっている．
それは，
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=94834
で議論したように，コーシー・アダマールの定理やダランベールの定理によればよい．
したがって，十分大きな |z| で一周とは，
|z|>α で一周ということ．

補足

(1)はなるほどです。
どこからこのような発想が出てくるんでしょうか。
見えている人と見えていない者の差を歴然と感じてしまいます。

ともかく(1)はＯＫです。

(2)なんですが、
> １位の極 z = α,βが積分路中にあるから
これはどうしたら分かるのでしょうか？
分母が０になるからαとβが特異点になるのは分かるのですが
それが真性特異点なのか極なのか（極なら何位なのか）除去可能な特異点なのか、その見分け方が分かりません。
ローラン級数に展開すれば良いんでしょうけど、それをせずに手っ取り早く見分ける方法ってありませんか？
ちなみに
z^(n+1) / (z -α)(z -β)
をローラン展開しようと頑張っていますが出来ませんのでそちらの方もよろしくお願いします。

回答No.4

siegmund

siegmund です．

> (1)はなるほどです。
> どこからこのような発想が出てくるんでしょうか。

う～ん，威張るわけじゃないですが，これくらいなら瞬時に見えます．
形としては，フーリエ級数展開と，その係数の積分表示などに似ています．
三角関数などの直交関数で他の関数を展開するなどの経験があれば，
見当がつくんじゃないでしょうか．
私の同僚もほとんど瞬時に見えると思います．

なぜこういう形の逆べき級数を考えるかは，母関数がもともとのアイデアでしょう．
例えば Hermite (エルミート) 多項式
H_0(x) = 1
H_1(x) = 2x
H_2(x) = 4x^2 - 2
H_3(x) = 8x^3 - 12x
H_4(x) = 16x^4 -48x^2 +12
.........
を扱うとき
　　Σ_{n=0}^∞ H_n(x) t^n / n!
という関数(実は，exp(-t^2 + 2tx) になることが知られている)を使うと非常に便利です．
t で展開したときの係数がちょうど H_n(x) になっているというわけです．
これを使うと
　　∫_{-∞}^{∞} H_n(x) H_m(x) exp(-x^2) dx
なんていう面倒そうな積分が簡単に求められます．

> (2)なんですが、
>> １位の極 z = α,βが積分路中にあるから
> これはどうしたら分かるのでしょうか？

問題の関数は z^(n+1) / (z -α)(z -β) ですね．
z^(n+1) は異常性を与えませんから，問題は 1/(z -α)(z -β) です．
部分分数分解をすればＯＫです．
　　1/(z -α)(z -β) = a/(z -α) + b/(z -β)
とおいて，両辺が等しくなるように a,b を定めれば，
　　1/(z -α)(z -β) = [1/(α-β)] [1/(z -α) - 1/(z -β)]
となり，z =α と z =β が１位の極であることがわかります．
留数も見えていますね．

もし，(z+γ) /(z-α)^2 (z-β) なんかでしたら
　　(z+γ) /(z-α)^2 (z-β) = (az + b)/(z -α)^2 + c/(z -α) + d/(z -β)
とおいて，a,b,c,d を決めることになります．

お礼

コツとかの問題じゃなくラベルの差ですね。;-P
ありがとうございました。

回答No.3

motsuan

siegmundさんが答えられているなぁと思っていたら
自分の回答に間違いがありました。あまり意味はないんですが。

(z^2-z-1)X(z) = x_0z^2 + (x_0-x_1)z
から、なぜか
X(z) = (x_0z^2 + (x_0+x_1)z)/(z^2-z-1)
となってしまっていました。
X(z) = (x_0z^2 + (x_0-x_1)z)/(z^2-z-1)
でした。大変失礼しました。

回答No.1

motsuan

前回からの続きということで、
z^2X(z)-zX(z)-X(z)
= (z^2-z-1)X(z)
= x_0z^2 + (x_0-x_1)z
から
X(z) = (x_0z^2 + (x_0+x_1)z)/(z^2-z-1)
として、これの逆変換とかいうので求めた場合と
X(z) = Σ_n=0~∞ x_n z^(-n)
から求めた場合で比較すれば
フィボナッチ列の一般項が出てくるのではないでしょうか？
z^2-z-1が既にそうなりまっせといっている感じですよね。

補足

物分りが悪くて申し訳ありません。
もう少し詳しく教えていただけますでしょうか。
何分社会人ですものですから数学の常識的なものを知りませんものですから。

よろしくお願いいたします。