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月の公転運動
月と地球の距離は昔はもっと短く、現在も少しずつ遠ざかっており、公転の速さも少しずつ遅くなっている、という説明を本で読みました。わからないのはその理由なのですが、例えば月が公転する際に星間物質に少しずつぶつかって公転が遅くなるのは理解できますが、その本には「地球の潮汐運動のため」、と書いてありました。確かに月の影響で満ち潮や引き潮などが起こり、それが摩擦力になり、地球の自転速度が遅くなっている、ということならわかりますが、公転周期はお互いの天体の質量や距離によると思うので、地球の満ち潮などが公転周期になぜ影響を及ぼすのかがわからないのです。太陽の引力が影響するのでしょうか。教えてください。
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>もし地球が非常に堅い物質でできており、とんがらずに球のままであれば、地球の自転は月の公転に影響を与えないのでしょうか。 まったく正解でしょう。 >ケプラーの法則などを本で読んでも天体の自転は関係ないように思えてしまうのです。 ケプラーの法則は、公転だけを扱う理論です。自転は全然考えてないので、潮汐力は理論の範囲外です。「面積速度一定」の面積速度とは、単位質量の角運動量なのだが、これは一定ではなく、潮汐力のために少しずつ増え続けています。 しかし、運動量という物理の基本量を捉えたことは、ケプラーの偉業の一つと言われてます。 >軌道が膨らむということは、公転速度が遅くならないと引力を振り切って飛び出していってしまうような感じがするのですが。 その通りですね。軌道が脹らむということは、地球からの距離が大きくなる、それは引力に逆らう運動だから、速度は遅くなる。地上で投げ上げられたボールは、重力で速度が減速され、やがて負になり、落下する。その現象と同じです。 >月の公転速度は減るのではなくて増えるのですか？ 失礼、NO2の「月は動きが速くなりつつ遠ざかる」は言葉が足りませんでした、申し訳ないです。円軌道速度（下記の(1)式）は、高い軌道ほど小さい。よって、高い軌道に移行して安定すれば、速度は小さくなる。遠くなって速度が落ちるのだから、目で見る動きは明らかに遅くなります。 ちなみに、円運動に加速が一瞬だけ与えられると、以後の軌道は、円から楕円に変わります。 例として、静止衛星は、まず低い円軌道に乗せる。タイミングを計って、ロケット噴射で楕円軌道に変える。楕円の端がちょうど静止軌道の高さになっている。そこで再びロケット噴射で加速して円軌道にする。 潮汐力はロケット噴射と異なり連続してるので、軌道は、蚊取り線香のような渦巻きです。超遠くに行った未来の月は、他の惑星の力で地球からもぎ取られると予想されている。 えーと、最初に僕が、数式を使わない方が良い思ったのは、間違いだったようです、失礼しました。ケプラーの法則のことが出ているので、角運動量に関する関係式を書きます。 まず、円軌道の速度の式。 v=√(GM/r) …(1) rは軌道半径、Mは地球質量、Gは重力定数。 月の公転の角運動量Lmは、質量がm、速度が(1)式のvとして Lm = mvr = m√(GMr) …(2) 地球の慣性モーメントは、質量がM、半径がAの球だとして I = (2/5)MA^2 自転の角速度ω(rad/秒)は、一回りの時間をT(秒)、角度360度＝2π(rad)から ω= 2π/T 地球の自転の角運動量Leは Le = Iω = (4πMA^2)/(5T) …(3) LmとLeの合計が不変だとする。 いま、潮汐力によって、地球の回転が減って一周時間TがT'に増え、月の公転軌道rがr'に脹らんだとする。その前後で、角運動量の合計は不変だとする。 その結果は r' = r｛(Le/Lm)(1-T/T')＋1｝^2 …(4) これが、地球の自転と月の距離の関係式です。途中計算が必要なら補足要求してください。 このr'を(1)式に入れると、円軌道速度は v'= v/｛(Le/Lm)(1-T/T')＋1｝ …(5) 月が円軌道を一周する時間≒1ヶ月の長さは t'= 2πR'/V' = t｛(Le/Lm)(1-T/T')＋1｝ …(6) (6)が未来の「1日の長さT'」と「1月の長さt'」の関係式です。 現在の地球 M=質量=5.972×10^24kg A=地球半径=6380×10^3m T=自転時間≒24時間=86400秒 現在の月 m=質量=7.346×10^21kg r=軌道半径=384400×10^3m t=公転時間≒1ヵ月≒27.32日=2360448秒 Le≒7.071×10^33 [kgm^2rad/s] Lm≒2.889×10^33 [kgm^2rad/s] Le/Lm ≒ 2.448 ≒ 2.5 よって(6)式は t'/t ≒｛2.5(1-T/T')＋1｝ =｛3.5－2.5T/T'｝ 例えば、地球の自転がTの2倍になったとすれば、 t'/t ≒ 3.5-2.5×(T/2T) = 3.5-1.25 = 2.25 Tが2倍だから、星空が回転する時間も同じく2倍になり、ゆっくり見える。 2.25/2=1.125=12.5%多い から「月は背景の星空に対する速度も遅くなる」と言える。 しかし、この計算は、太陽の潮汐力が、月の半分もあることを無視している。すなわち、実際の地球の減速は、この計算を上回るので、地上で見れば、NO２に書いたように「月は背景の星空に対する速度が速くなりつつ遠ざかる」らしいのです。 数式の不明な所は補足要求してください。
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- abyssinian
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>式も、紙に書き直して自分でやってみました。大変よくわかります。 よかった、安心しましたよ。では、(6)式を続けます。 t'/t= (Le/Lm)(1-T/T')＋1 …(6) この式は、月の公転と地球の自転が一致（同期）するこ とも表しているんです。t'=T'=xと置けば、xの2次方程式 になり、2つの実根が存在します。同期状態は2つ存在す るんです。大きい方の解は t'=T'≒8.077×10^6秒≒2244時間≒93.48日 １日が現在の約4カ月です、昼が2カ月、夜が2カ月。 同期した月の距離は、(4)式によって r'≒11.71r≒4.501×10^6km これは、地球と金星の軌道距離41.44×10^6kmの 11%に相当する。仮にこれほどまで離れると、他の惑星 の影響によって、地球を回る軌道から離れて、独自に 太陽を回る可能性が大きい、と僕は教わりました。 次に、太陽の影響を考えるんですが、地球も太陽も柔 らかいので、共に自転が減速し続けています。現在の潮 汐力は月の約1/2。月が同期した後も続くので、地球は 月より遅くなる。その結果、潮汐力が逆に作用して、月は 再び地球に近付く。この過程も、運動量の関係を表した (4)～(6)式は成立します。同期した状態から、地球のLe を減らして行くんです。TはLeで表した式に置き換え。 月が戻ってくる假説は、最後が劇的で受けが良いんで すが、遠くに行った月が、地球以外の影響によって地球 を離脱する可能性に左右されます。 （公転と自転の同期について、正確を期すと、潮汐力は回 転速度差が原因であるから、同期に近付くほど力は小さく なり、同期状態を保持できない。交流誘導モーターが同期 回転できないのと同じであり、古典制御理論の、D動作（微 分制御）と同じです。 この質問者は、そこに気付きました。 http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1017664 球形の不均一さが振り子のように作用し、完全な同期へと 引き込まれる。これは、古典制御理論の、P動作（比例制 御）に相当する。ゆえに、隕石の衝突や他の惑星の外乱が あっても、角度は0に収れんします。）
お礼
お答えいただいたことに気づかず、締め切ってしまい、失礼いたしました。 ＞t'=T'=xと置けば、xの2次方程式になり、2つの実根が存在します そこが面白いですよね。つまり、２通りの安定の仕方があるということですよね。 ＞これは、地球と金星の軌道距離41.44×10^6kmの 11%に相当する。 そこまで離れると、もはや普通の明るい星にしか見えないかも知れませんね。 ＞遠くに行った月が、地球以外の影響によって地球 を離脱する可能性に左右されます。 その頃は太陽も赤色巨星になっている頃ですよね。そのころ人類は何らかの方法で生き延びているのだろうか。 大変参考になりました。ありがとうございました。
- Tacosan
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今のところ月は地球から毎年数cmずつ離れていっていますが, これは永久には続かないと予想されているはずです＞#7. おそらく太陽が膨張して赤色巨星になることにより月が溶けてしまうと思われますが, それを無視しても, です. 潮汐力のため地球-月系の (地球の自転軸に関する) 回転モーメントは地球の自転から月の公転へと移っていきますが, これは月が地球から離れていくのと同時に地球の自転が遅くなっていくことも意味します. 最終的に地球の自転周期が月の公転周期と同じになって潮汐力の影響はなくなりますが, 今度は太陽の引力による潮汐効果が影響するようになります. この効果によって, 今度は月が地球に近づいてくると考えられているはずです. そして計算上, 最終的には月が地球のロッシュ限界を超えて近づくことにより月が潮汐破壊されるはず... です. 但し, その前に太陽の寿命が尽きるわけですが.
お礼
なるほど、月が常に地球に同じ面を向けて入るように、地球も月に常に同じ面を向けるようになったら、確かに潮汐力は生じなくなりそうですね。すると、今度は太陽の影響か。今度は地球に近づいて来ることは、初めて知りました。地球にぶつかる前に破壊されるのですか？いずれにしても何十億年も経ってからのことですね。おもしろい話をありがとうございました。ロッシュ限界について、もう少し調べて見ます。
- manda
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No.1 の者です。 わかりました。 私の記述： ＞「 ｒが大きいほど、回転の運動エネルギーは小さい 」 ＞のではありませんか？ この件ですが、公転半径が大きくなると、位置のエネルギーが大きくなって、しかもその方が影響が大きいのですね。
- abyssinian
- ベストアンサー率46% (53/114)
>球は自転速度を失って、月の公転速度が増える。 >の部分がよくわからないのです。 >私が何かを見落としているのだと思いますが・・・ 月が加速されるメカニズムの理解が不足してるのです。説明図を見てください。NO408です。 http://hpcgi2.nifty.com/furo/clip/clip.cgi? 互いの引力で地球が楕円形になると、万有引力は距離が近いほど強い（2乗に反比例）だから、とんがった先端がいちばん月に近いので、いちばん引力が強い。これは磁石の極に似てるのです。 地球が磁石で月が鉄だとすると、地球が自転してないFIG１では、引力は、月の公転軌道に垂直です。加速も減速もしない。ただ軌道を真横に曲げるだけ。 次に、地球が自転するFIG2では、引力の方向が斜めになることが分かると思います。その力を分解すると、軌道に垂直なF2のほかに、軌道方向のF1があります。このF1が原因。 作用反作用で、地球の極も、回転と反対向きに引かれるから、地球の自転はブレーキがかかる。同時に、月が加速される。 月の公転速度は、1月で一周なので、地球の自転（１日１回転）に比べると止まってるようなものです。その月を、地球の出っ張りが、犬の鼻先に餌をぶら下げて引っ張るように、月を前進させる。 地球がとんがる原因は、月との引力です。とんがる高さは、地殻が最大約20センチで、その上に乗ってる海水が1メートル前後。月と相互作用する効果は、地殻による効果よりも、移動する海水の効果の方が支配的で、文献によれば1桁ちがうようです。それゆえに、理科や地学の教科書に「海水の摩擦」と書かれてるのでしょう。 地球の地殻の変形は内部が流体であることが主原因です。地球は内部がほとんど流体なのでとても柔らかいのです。しかし粘度が高くて海水のようには移動できない。 一方、月は、大気も海水も無いし内部も固体なので、この効果が起きる要因は、表面の海にある重い物質です。 （念のために書いておきますが、僕は、outbackさんの質問を読んで、運動量や保存則は専門過ぎると思って、故意に、なじみやすい「エネルギー」と書きました。正確を期すと、月と地球の全体で保存されてるのは角運動量です。回転エネルギーの式だけでは、公転軌道は論じられない。エネルギー保存則を満たすためには、位置エネルギーをも含めないと駄目です。）
お礼
図入りのご説明、ありがとうございました。その図によれば、地球がとんがるからそれが回転することによって月を加速させるということですよね。ということは、もし地球が非常に堅い物質でできており、とんがらずに球のままであれば、やはり地球の自転は月の公転には影響を与えないのでしょうか。ケプラーの法則などを本で読んで、各運動量もなんとなく理解できましたが、やはりそこでもそれぞれの天体の自転は関係ないように思えてしまうのです。
- manda
- ベストアンサー率23% (20/85)
No.1 の者です。 No.3さんのご指摘： ＞ところで，No.1さん，月の公転運動からエネルギが奪われたら， ＞月は遠ざかるのではなく，地球に向かって落ちてきますよ。 ええっ、そうでしょうか？ 回転の運動エネルギー Ｋ は Ｋ ＝ (1/2)・Ｉ・(ω＾２) で、ここに… 慣性モーメント Ｉ ＝ ｍ・(ｒ＾２) 衛星の角速度 ω ＝ √（ＧＭ／（ｒ＾３）） （ただし、Ｇ は万有引力定数 Ｍ は地球の質量 ｍ は月の質量 ｒ は月の公転半径 ） を代入すると Ｋ ＝ (1/2)・ｍ・(ｒ＾２)・(ＧＭ／（ｒ＾３）) ＝ （ＧＭｍ）／（２ｒ） よって、「 ｒが大きいほど、回転の運動エネルギーは小さい 」 のではありませんか？ ○ ○ ○ なお、「 大福餅を揉んでいるようなもの 」という話のでどころ を、参考ＵＲＬに挙げておきます。 （上から 1/3 ぐらいのところに「上下動で２０ｃｍ」とあります）
お礼
再度、ありがとうございました。 書いてもらった式をよく見て見ましたが、やはり回転に関係するのは「万有引力定数」「地球の質量」「月の質量」「公転半径」ですから、式の中には「地球の自転速度」や「月の自転速度」などは出てきませんよね？ まさにそこに私の疑問があるのです。私が何かを見落としているのだと思いますが・・・
- IAC
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No.2さんの回答から示唆されますが，月の公転周期と地球の自転周期の安定状態は， ・質量や距離の問題 ではなく， ・双方の角速度 の一致にあると言うことですね。 ところで，No.1さん，月の公転運動からエネルギが奪われたら，月は遠ざかるのではなく，地球に向かって落ちてきますよ。
お礼
ありがとうございました。角速度というのは確か、ある一定の時間に移動した円の弧の面積のようなものでしたでしょうか？ 例えばもし地球が自転していない場合や、自転の向きが逆だった場合、または自転速度が実際の２倍だった場合などで、人工衛星の安定した軌道はやはり違うのでしょうか？
- abyssinian
- ベストアンサー率46% (53/114)
引力を、磁石の引っぱる力のように考えると、簡単に理解できるよ。 地球 <●>→ - - - - - ←◎月 上図の、< と > は海水のつもりです。月に引っ張られて横に脹らんでる状態です。 地球の自転が時計方向とします。海水は、海底との摩擦や陸の沿岸に押されて、いっしょに回っているので、 < が上に、> が下に移動します。 ここで、引力を磁石の力だと思えば、 < より > の方が月に近いので、月は > に引かれます。同時に > の海水も月に引かれるので海底の動きより遅れる。これを陸から見ると、海水が大規模に移動して見える。潮汐です。これを「海水の摩擦力」と言ってるのです。 地球は自転速度を失って、月の公転速度が増える。長い時間の後に、地球自転と月の公転が同じになってしまえば、互いに静止してるのと同じになって、回転エネルギの移動は無くなる。 しかし、公転速度が増すと、軌道の円が大きく脹らむのです。そのため、次第に月は遠ざかります。地上では、１日の長さが24時間よりも伸びて、星空の回転が次第に遅くなって、月は動きが速くなりつつ遠ざかる。これを過去にさかのぼると、昔は月はもっと近く大きく見え、１日は24時間より短かった。 ここで注意が必要で、この現象で地球の回転が遅くなるのを、クルマのブレーキと同じだと誤解してはいけない。クルマのブレーキは運動エネルギーを熱に変えてしまうが、この現象は、地球の自転エネルギーが月に移動するのです。 地球と月の場合は海水移動が主です。
お礼
わかりやすい図入りのご説明、ありがとうございました。 ただＮＯ１の方同様、 ＞地球は自転速度を失って、月の公転速度が増える。 の部分がよくわからないのです。地球が自転速度を失うのはなんとなくわかりますが、なぜ、公転速度にまで影響するのか。 また、月の公転速度は減るのではなくて増えるのですか？感覚的には公転の速度はお互いに近いほど速い速度でないと衝突してしまうような気がします。つまり軌道が膨らむということは、公転速度が遅くならないと、引力を振り切って飛び出していってしまうような感じがするのですが。
- manda
- ベストアンサー率23% (20/85)
◆「 地球の満ち潮などが公転周期になぜ影響を及ぼすのか 」 海水をモミモミするためにエネルギーが必要で、そのエネルギー が月の公転運動から取られているから、です。 ただし、「 潮の満ち干 」のせいだという説明は、半分正しく半 分間違いではないかと思います。 参考URL に、 「 月の自転がおそくなって、ついには公転と同じ 周期になってしまった理由 」 が出ています。 私としては、そこの No5 の人が言っているのが正解と考えてお ります。 たとえて言うと、大福餅をねんがらねんじゅうモミモミしている ような物です。 つまり、相手の星に海があってもなくても、 「 潮汐力がブレーキをかける 」 のであって、これを「 潮の満ち干 」だと言ってしまうのは伝言ゲ ームのように話が化けたのだと思います。
お礼
早速のお答えありがとうございました。が、昔高校時代に物理を習っただけの私には今ひとつピンと来ません。 月が常に地球に同じ面を向けていることは、示していただいたＨＰでよくわかりました。また地球の自転が潮汐力で少しずつ遅くなっていることも。 わからないのは ＞海水をモミモミするためにエネルギーが必要で、そのエネルギー が月の公転運動から取られているから、です。 の部分で、天体の公転周期にそれぞれの自転が関係するのでしょうか。 素人には例えば太陽の自転が速かろうと遅かろうと、地球の公転周期には関係ないように思えてしまうのですが・・・
お礼
大変詳しいご説明、ありがとうございました。おかげで私が疑問に思っていたことが全て解決しました。 また月を加速することによって軌道が膨らむこともよくわかりました。軌道が膨らむにつれて公転速度は遅くなりますが、その加速させたエネルギーは、軌道を遠ざけることに使われたということですね。 教えてもらった式も、紙に書き直して自分でやってみました。大変よくわかります。とてもためになりました。ありがとうございました。