ポーカーのワンペア

質問

簡単のために、役がワンペアしか規定されていないポーカーを考えます。

最初配られた時点でワンペアが出来る確率は
1－52/53×48/52×44/51×40/50×36/49＝54.1％
ですよね？（合ってますか？）

さて、ここからが本題なのですが、

最初配られた時点でワンペアが出来なかった場合に限った話とします。
札替えを１回だけ行うとします。

札替えは全取っ替えするのが最善か、それとも、４枚だけチェンジするのが最善か、はたまた３枚だけチェンジするのが・・・（以下略）
ということについて考えているのですが、
どうやって計算するのかわかりません。

何枚チェンジが最善なのでしょうか？

直感的には、何となく、１枚だけ残して４枚チェンジぐらいが最善のような気がするのですが・・・。

回答No.10

eatern27 · ベストアンサー

＞よろしければ端緒だけでも教えていただけませんか？

５枚を交換した後のトランプの選び方の
全ての場合の数は48Ｃ5＝1712304通りです。

５枚を交換した後に、ワンペアでない、という状況は、
交換した後の５枚が全部違う数字という場合に限られます。

Ｐ：捨てたカード(5枚)
Ｒ：Ｐ以外のカード(8枚)
という２つのグループに分けます。（Ｐは各数字３枚ずつ、Ｑは各数字４枚ずつ)

Ｐからi枚、Ｑから5-i枚を選んでワンペアでない場合の数は

((5Ｃi)*3^i)*((8Ｃ5-i)*4^(5-i)通りです。

これをi=0～5まで足し合わせると782867通りです。

よって、ワンペアになる確率は
1-782867/1712304=54.28%
となりました。

1～4枚交換の場合も同じように考えれば確率がでてきますね。

なお、1～4枚交換の場合は#5さんと一致しているので,5枚交換の方も間違っていないと思うのですが、どうでしょうか？

お礼

なるほどー。
Ｐからi枚、Ｑから5-i枚として、場合分けをｉで表わしてΣを取っていたんですね。
それにしても
((5Ｃi)*3^i)*((8Ｃ5-i)*4^(5-i)
という素晴らしい式には感動しました。
ありがとうございます。

回答No.12

Largo_sp

#7です…
JKなしの場合ですが、ｎ枚交換での有利不利の差は
かわらないということですよ

なぜなら、できないカードの組み合わせの数は
同じで、全体の（成立の）数が増えるだけですから
”ワンペア成立”のみを問題とすれば…

お礼

ありがとうございます。

補足

＞JKなしの場合ですが、ｎ枚交換での有利不利の差は
かわらないということですよ

有利不利の差？？？
「有利不利の順番はかわらない」（何枚交換が有利かの順番）ということをおっしゃりたいのですか？

＞できないカードの組み合わせの数は同じで
ここはなんとなくわかるような気がするのですが・・・

＞全体の（成立の）数が増えるだけですから
全体の成立の場合の数は、ジョーカー無しだと減ると思うんですけど。

回答No.11

noname#8027

ご指摘ありがとうございました。
確かに、54.28%のようです。今となっては、計算に利
用したファイルを抹消したので、どこが間違っていた
のかわからなくなったのですが、

>∴　１－806115560/205476480＝約60.8％

この式、とんでもなくおかしいですね。計算しなおしたら、

１－93944040/205476480＝54.28％

確かめてないのですが（このあたりが問題か！）
約分すればeatern27さんの答えと同じだとは思うのですが。

まー、とにかく、「圧倒的に５枚交換がよい」という誤った認識が普及しなくてよかったです。（笑）

あーーー、このスレッドというか、一連を途中で見るのをやめちゃった人にはーーー（訂正できませんね）

補足

ありがとうございます！
・・・いえ、いえ。いいんですよー。
私も後々検算するつもりだったので。
私の一番の質問目的は、計算の導出過程を知ることだったのです。
あなたの導出過程は、＃１１と同値なはずです。

回答No.9

eatern27

#5さんの５枚交換ですが、1から合計したのを引くと54.28％になりませんか？

別の方法で５枚交換を計算してみましたが、やはり、54.28％になりましたので、５枚交換でワンペアになるのは54.28％だと思います。

４枚交換の場合は54.44％ですから、４枚交換の方が僅かに当たる確率が高いですね。ですので、直感通り「１枚残して,残りを交換」という戦略がベストのようです。

ですが、4枚交換・５枚交換の間に差ほとんど差はないですから、対戦相手がいて、「同じ役なら強いカードを使った役の方が勝ち」というルールなら、
強いカードを持っていれば、一番強いカードを残して残りを交換、弱いカードしかなければ全部交換、という戦略がベストでしょうね。

(果てしなく面倒なので計算しませんが、上の戦略における4枚交換・５枚交換の境界も計算で求まる"はず"です)

補足

おぉぉぉ～！
それは貴重なご指摘、ありがとうございました。
「別の方法で５枚交換を計算してみましたが…」の計算内容がとても気になるところです。
よろしければ端緒だけでも教えていただけませんか？
わがまま言ってすみません・・・

回答No.8

noname#8027

＃５です。
この理論を実践に適用するに際し、もっとも問題となるの
は、５３枚そろって始めた時に限るっての理論であること
ではないでしょうか。場に捨てたカードがある場合、まっ
たく理論どおりにいかないでしょう。そして、カードがな
くなるたびにシャッフルするというルールであれば、配る
前に５３枚という前提でゲームを始める機会は非常にまれ
なことになります。

お礼

それはそうですよね。
ありがとうございます。

回答No.7

Largo_sp

ポーカーの場合Ａを残すのは相手もブタの場合
ハイカードで勝てる可能性があるのでブタという
役を考えていますから…
ワンペア以外無勝負の前提ならば全取替えのほうが
有利かと思います
ＪＫ無しの場合でも
全体の枚数が１枚減るだけで、成立しない確率の大小は
かわらないので、やはり全取替えが有利になりそうです

お礼

ありがとうございます。

補足

＞ブタという役を考えていますから…
ブタという役は、今回の話とは関係ありません。

＞ワンペア以外無勝負の前提ならば全取替えのほうが
＞有利かと思います
計算が複雑すぎて結論が出せませんが、たぶんそうではないと思います。

＞ＪＫ無しの場合でも
＞全体の枚数が１枚減るだけで、成立しない確率の大小は
＞かわらないので、やはり全取替えが有利になりそうです
これは＃５さんと同様の計算をすれば結論が出そうですね。
（やってみようと思ってましたが、まだやってないですけど・・・）
直感的には、全取替えが有利になるとは思えないです。
なぜならば、例えばダイヤのカードを全て除いて、同番が３枚ずつのトランプでポーカーをやると、ワンペアやスリーカードの出来る確率は少なくなるはずですから。

回答No.6

gicchon

ワンペアになる確率が５０％以上あるというのが、なんとなく信じられなかったので、自分で出した結果でなんとなく満足してましたが、「#1の回答に対する補足」を読むと、なるほど、全体から1ペアにならない確率を引いて1ペアになる確率としているんですね。

私も実際にポーカーをするときは、全取替えはしない派ですが、＃５さんのように確率が上がるとは思えません。
この質問にある例題は何人でポーカーをするのか規定してませんが、人数が増えれば増えるほど、場に残るジョーカーの確率が減っていきます。
ですから、自分も感覚的ですが1枚残してあとはチェンジです。

＃５さんの回答は1人でやっている確率ですので、何人でポーカーをしているのか決めないと、今後のポーカー戦略には使えないのではないでしょうか。

補足

何人でポーカーをしても、とにかくワンペア成立だけを目指せば、場にジョーカーがあることと他の人の手札にジョーカーがあることとは同等なので、確率論上の話は変わらないと思います。

ただし、対戦相手と同等以上の役を目指すには、ワンペアにしても、出来るだけ強いカードのワンペアにしなくてはいけないので、今度は話が変わってくると思います。
（ジョーカーとのワンペアは最弱とするルールもあり。）

ですから、私も対戦相手のいる実戦では、エースやキングなどの強いカードを１枚保留して、他の４枚を捨てる、などの戦略が最善ではないかという気がしています。

回答No.5

noname#8027

まちがいを書いたお詫びに、考えてみました。
スマートでありませんし（強引すぎる？）、今回も大ちょんぼがあるかも知れませんので、慎重に取り扱い下さい。なお、計算はエクセルでしました。

【１枚交換】
４８枚残っているうち、自分の手持ち４枚と同じカードは、4*3枚
プラス　ジョーカー1枚
∴　13/48＝約27.1％

【２枚交換】
最初に配った時と同様、ワンペアが出来ない確率から考えてみます。

１枚目に、捨てたカードとは別のカードを引いた場合（別と省略します）
32/48　*　34/47
１枚目に、捨てたカードと同じ番号カードを引いた場合（同と省略します）
6/48　*　35/47

両者を加えて、全体から引くと
∴　１－1298/2256＝約42.5％

【３枚交換】
２枚の場合と同様に最初の２枚が、同か別かで分けます

（別、別）
32/48　*　28/47　*　33/46
（別、同）
32/48　*　9/47　*　34/46
（同、別）
9/48　*　32/47　*　34/46
（同、同）
9/48　*　6/47　*　35/46

全て合計して、全体から引くと
∴　１－51042/103776＝約50.8％

【４枚交換】
３枚の場合を考えると、（別、同）はかけ算の順番が違うだけという事がわかるので省略します。

（別、別、別）
32/48　*　28/47　*　24/46　＊　32/45
（別、別、同）　（別、同、別）　（同、別、別）
32/48　*　28/47　*　12/46　＊　33/45　＊３
（別、同、同）　（同、別、同）　（同、同、別）
32/48　*　12/47　*　9/46　＊　34/45　＊３
（同、同、同）
12/48　*　9/47　*　6/46　*　35/45

全て合計して、全体から引くと
∴　１－2127768/4669920＝約54.4％

【５枚交換】
（別、別、別、別）
32/48　*　28/47　*　24/46　*　20/45　*　31/44
（別、別、別、同）　（別、別、同、別）　（別、同、別、別）　（同、別、別、別）
32/48　*　28/47　*　24/46　*　15/45　*　32/44　＊４
（別、別、同、同）　（別、同、別、同）　（同、別、別、同）　（別、同、同、別）　（同、別、同、別）　（同、同、別、別）
32/48　*　28/47　*　15/46　*　12/45　*　33/44　＊６
（別、同、同、同）　（同、別、同、同）　（同、同、別、同）　（同、同、同、別）
32/48　*　15/47　*　12/46　*　9/45　*　34/44　＊４
（同、同、同、同）
15/48　*　12/47　*　9/46　*　6/45　*　35/44

全て合計して、全体から引くと
∴　１－806115560/205476480＝約60.8％

お礼

ご回答の内容を完全に検証できたかどうか自信がないのですが、おそらく、完璧なご回答ではないかと思われます。
（同）（別）で場合分けして整理された計算内容には感服しました。
まことにありがとうございました。

この結果から、全取っ替えが最善ということになりました。
ちょっと意外でした。
私の今後のポーカー戦略が変わりそうです。
しかも、当初のワンペア成立の確率よりも、当初ワンペア不成立→５枚交換後のワンペア成立の確率の方が高いというのは、驚きの結果です。
それもこれも、ジョーカー有りのポーカーだから起こる現象なのでしょうね。
ジョーカー無しだと、たぶん話は変わってくるでしょうね。

回答No.4

noname#8027

#1です。スミマセン、考えたらずでした。合っていると思います。

お礼

再度のご回答いたたき、すみません。
そうですか。
ありがとうございました。

回答No.3

gicchon

面白い問題ですね。
でも最初配られた時点でワンペアが出来る確率は違うのではないでしょうか？

53枚のカードから5枚を引くと特定の1枚を引く確率は
1/53*5

ジョーカーが出たら必ず1ペアになるので
ジョーカーが出る確率の分以上はあります。
だから（1/53*5）以上

ジョーカーが出ない確率は
1-(1/53*5)=48/53

最初配られた時点でワンペアが出来る確率=(5/53)+(48/53)*(ジョーカー以外で1ペアになる確率)

引いたカードが特定の1枚（仮にスペードのA）と同じ数字になる確率は、
残りの52枚中、同じ数字が3枚有り、それがあと4枚のうちどれかに入っていればいいので、
3/52*4=3/13
これが、ジョーカー以外で1ペアになる確率。

だから
最初配られた時点でワンペアが出来る確率=(5/53)+(48/53)*(3/13)=30.3338%

お礼

ありがとうございます。

補足

ジョーカーが出ない確率48/53のところまではわかりましたが・・・

＞引いたカードが特定の1枚（仮にスペードのA）と同じ数字になる確率は、
＞残りの52枚中、同じ数字が3枚有り、それがあと4枚のうちどれかに入っていればいいので、

これは１枚目と２枚目がワンペア、または、１枚目と３枚目がワンペア、または、１枚目と４枚目がワンペア、または、１枚目と５枚目がワンペアになることを言っているのだと思いますが、
２枚目と３枚目とがワンペア、２枚目と４枚目とがワンペア、２枚目と５枚目が…、３枚目と４枚目が・・・（以下略）を考慮していないので、まずいのではないかと思います。

実際ポーカーをやっていると、最初配られた時点でジョーカーがなくてもワンペアになる確率は3/13（＝２割強）どころではなくて、もっと高い確率で発生しています。

回答No.2

yungflu

まず、ジョーカーとの組み合わせを1ペアーとするかどうかです

一応しないと改定すると
1ペアーの出来る確率は
52/53＊3/52＊48/51＊44/50=1056/22525=4.68%

さて本題の一回目で一枚交換する時の1ペアーは
他の4枚と一つのみ同じになればよいので
（3+3+3+3）／（53-5)　＝12/48　=1/4
　※数字の５は　今ある5枚が交換要員にはすでにないから
　2枚変とき
まず4枚目が変えない3枚目のいづれかと同じになり5枚目は他の4枚目と異なる確率を考える
（3+3+3)/48*（53-1-3-3-3-2)/47=369/2256・・・(1)

まず4枚目が変えない3枚目のいづれかとも異なり5枚目は他の4枚目のいずれかと同じなる確率を考える
（53-5-9-1)/48*（3+3+3+3)/47=19/24＊12/47・・・(2)
(1)と(2)を足せば　よいので　　　945/2256が　答え

面倒なので　計算説明を省くと
4枚交換すると　そのうち1枚が重なればよいので
4枚目変えるのが一番確率は上がる

お礼

ありがとうございます。

補足

＞まず、ジョーカーとの組み合わせを1ペアーとするかどうかです

ジョーカーがあれば、必ずワンペアとします。
（ついでに申し上げますと、スリーカードもフォーカードもファイブカードもワンペアと見なします。）

＞一応しないと改定すると
＞1ペアーの出来る確率は
＞52/53＊3/52＊48/51＊44/50=1056/22525=4.68%

ん？？？！！！
実際ポーカーをやってみると、最初配られた時点でワンペア以上が出来ている確率は５０％程度あるので、そんんなに小さい確率にはならないはずです。

＞さて本題の一回目で一枚交換する時の1ペアーは
＞他の4枚と一つのみ同じになればよいので
＞（3+3+3+3）／（53-5)　＝12/48　=1/4
＞　※数字の５は　今ある5枚が交換要員にはすでにないから

ここは、わかりました。
ジョーカーも考慮すれば
(3+3+3+3+1)/(53-5)
ですね。

＞面倒なので　計算説明を省くと
＞4枚交換すると　そのうち1枚が重なればよいので
＞4枚目変えるのが一番確率は上がる

５枚全取っ替えしたほうがジョーカーを入手できる確率は高いので、４枚交換よりもワンペア完成できる確率が高いかもしれません。
そこを明らかにしたいのです。