物理の内容にバネや振り子があるが、その必要性とは？

質問

物理の内容にバネや振り子の内容があるが、その必要性はどんなことか？

回答No.2

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#1のおっしゃるように、力学的エネルギー保存則が端的に表れるのがバネを含む状況ですが、ここでは別の観点を紹介します。以下、私見です。

　高校を出た後、さんざん浪人して大学さ入れましたが大学で思いました。「微分ってなんだろう？」って・・・。どうも大学の講義を聴いてると、微分とは添付図の(1)ではなく、どうも(3)の事のようだと・・・(^^;)。
　添付図の(1)は普通の微分の定義です。f'(x)は、関数y＝f(x)のxにおける微分係数。ここで(1)のhはh→0を考えるので、非常に小さいものです。非常に小さいものにはdを冠する習わしがあるので、hをdxで書き変えます。それが(2)です。
　ここでdxは非常に小さいですが、0ではありません。だからdxを移項した形には意味があります。それが(3)です。h＝dxが非常に小さいなら、f(x＋dx)－f(x)も非常に小さいはずなので、ふつう(2)左辺の分子はdfと書かれ、(2)は、

　　df/dx＝f'(x)　　　(2')

と書く事も出来ます。(2)（(2')）から(3)への変形は、(2)の両辺にdxをかけ、

　　df＝f'(x)･dx

という事になります。
　これは高校時代に、「絶対やっちゃダメ！」「やる奴は極限計算を理解してない」「勉強し直せ！」とさんざん言われた話ですが、じつはイメージとしては正鵠を射ているんです。
　dxは関数f(x)における、独立変数xの微小な変化量です。関数y＝f(x)は、独立変数xの値の変化によって従属変数yの値が変化します。なのでdxの事を微小入力と呼びます。それに対するyの変化はdfです。だからそれを出力と呼びます。
　(3)の意味するところは、

　　・微小入力に対する出力は入力に比例し、比例定数は微分係数である！．　　　(a)

です。これが微分の真の意味と思われます。
　大学の数学科に行くと、本当にこういうイメージになります（自分は数学科の出じゃないですが、聴講した事はあります(^^;)）。しかし大学の数学科だって、微分の定義はあいかわらず(1)です。同じ「式」を見ながら、ここまでイメージが違うというのは面白いですね。

　さてここに、左端を固定された一本の棒があります（添付図の図-1）。これを右端で力Fで引っ張ります。こういう状況は例えば、ビルの建材の一つとしてあり得る話です。一般的な話として、建材の変形は微小でなければなりません。この場合の変形は棒の伸びです。
　どうして微小でなければならないかと言うと、目に見えるくらい変形したら（伸びたら）、たいがい建材はぶっ壊れるからです。だから設計計算の基本は、ビルの建材の（構造物の部材の）変形を、微小に抑える事になります。それが成功したとします。

　建材の変形は、それに作用する力Fで決まるのは明らかですが、今その結果である変形は微小です。という事は、その建材にとって、その作用力Fは微小だったというわけです。建材にとって、作用力は入力，変形は出力、というのも明らかと思います。ここで変形とは、どんだけ伸びたかの長さxです。
　上記に微分の真の意味、(a)を考慮します。

　　x＝f'(0)･F　　　(b)

となりませんかね？。ここで(b)のf'(0)の0はF＝0の事であり、fとはf＝f(F)の事であり、f(F)は作用力Fに対して建材がどんだけ伸びるかを表す関数です。
　さらに(b)のf'(0)は定数です。これを移項します。

　　F＝1/f'(0)･x (c)

　(c)の1/f'(0)をkで表し、バネ定数と呼びます。

　　F＝kx (d)

　これはバネの式です。実際に材料試験などを行ってみると、（人間にとっては）非常に大きな作用力Fであっても、kの値はかなり一定のままです。まわりを見回すと、自分の住んでる家や家具やビルや橋などは、ぶっ壊れてません。

　・・・という事はこの世の物体の全ては、通常の状態ではバネの塊りという事になります。
　・・・この世はバネ、という事にもなります(^^;)。

回答No.1

ohkawa3

「物理の内容」とのお問い合わせですが、「高校の物理や大学入試問題などの内容」と勝手に読み替えて回答します。
「ばね」は、偏位にによって機械的なエネルギーを蓄えます。
「振り子」は、位置エネルギーと運動エネルギーとの和が一定であることを説明するために、初心者でも周知のシステムなので好都合です。

「物理の内容にバネや振り子の内容がある」のは、単純化すれば、機械的エネルギー、運動エネルギー、位置エネルギーなどの和が一定であることを意味する「エネルギー保存の法則」を的確に理解しているか否かを試す試験問題として有効なのだと思います。
試験問題のことを先に書きましたが、普遍的な物理法則として、意味を理解して身に付けることが有益な法則の最上位なので、さまざまな場面で頻出するのだと思います。