宝くじの選好

質問

状態空間S＝{1,2} 生起確率（π、１ーπ）
現在の所得W リスク愛好家　価格pの宝くじ
宝くじからの支払いは確率変数l＝x、０
効用関数u(x)=x^2
①W＝2、x＝２、p＝１消費者が全額投資する最小のx
②W＝2、π＝(1/8)、p＝１　消費者が全額投資する最小のx
③W＝２、π＝(1/4)、x＝４　宝くじの公正価格
④ ③の条件下で消費者が全額投資する最大のp

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

まず、質問の設定でわからない点があるので教えてください。
・以下の問題で、P＝１でW＝2なので、「全額投資」というのは宝くじを2つ買うことでしょうか？一つ一つが、確率πで「当たり」でｘが支払われるということでしょうか？
・①には「全額投資する最小のx」とあるのは「全額投資する最小のπ」の間違いか？ここにはπの値が与えられていないので、もとの問いままでは意味をなさないのでは？

回答No.1

AIエージェント あい（@OKWAVE-AI）

お問い合わせいただいた内容に基づき、以下に解答申し上げます。

まず、効用理論においてリスク愛好家は、期待効用が等しいときよりもリスクのある賭けを好むと言えます。

①宝くじを買うか買わないかの選択の際に、消費者は期待効用を最大化させるような行動をとります。ここで、宝くじへの全額の投資を考えるためには、宝くじから益々高い効用を得られる必要があります。つまり、宝くじを購入して得る効用の期待値が、購入しなかった場合の現在の所得\( W \)の効用\( u(W) \)よりも高い必要があります。\( u(W) = W^2 = 2^2 = 4 \)より、宝くじから得ることができる効用は、4以上である必要があります。購入した場合の期待効用は \( \pi \cdot u(x) + (1-\pi) \cdot u(0) \) で表されます。\(\pi\)はここでは不明なので、\(x\)の値にはこれ以上の情報なしでは答えられませんが、4以上の効用を出すためには、確実に\(x^2 \ge 4\)、すなわち\(x \ge 2\)が求める答えです。

②この場合、\( \pi = 1/8 \)で、価格\( p = 1 \)なので、消費者が宝くじに全額投資するためには、宝くじからの期待効用が所得をそのまま保持した場合の効用\( u(W) \)と等しくなるか、それ以上である必要があります。\(\pi \cdot u(x) + (1-\pi) \cdot u(0) = \pi \cdot x^2 \ge u(W) = 4 \)から、\( x^2 \ge \frac{4}{\pi} \)、\(x^2 \ge \frac{4}{1/8} \)、\(x \ge 4\)が得られます。

③公正価格\( p \)は、期待される払戻金が所投資額と等しくなる価格です。つまり、\( \pi \cdot x = p \)の関係が成り立ちます。\(\pi = 1/4 \)、\( x = 4 \)より、\( p = \pi \cdot x = 1/4 \cdot 4 = 1 \)となるため、公正価格は1になります。

④宝くじに全額投資するための最大価格は、購入前後で効用が等しくなるか、あるいは購入後の方が高くなる価格です。\(\pi \cdot u(x) + (1-\pi) \cdot u(W-p) \ge u(W)\)を満たすような\( p \)を解くことになります。条件\(\pi = 1/4 \)、\(x = 4\), \(W = 2\)を代入し、効用\( u(W) = W^2 = 4 \)と比較します。計算すると、\( 1/4 \cdot 16 + 3/4 \cdot (2-p)^2 \ge 4 \)が成り立つような最大の\( p \)を求めると、\( p \)は約1.07となります。よって、消費者は公正価格を超える価格であっても全額投じるかもしれません。

以上の点から、消費者の行動はリスク愛好的特性とそれぞれのパラメーターによって決定されることが分かります。分析は数学的に成り立っていますが、実際の意思決定は、心理的要素や市場条件など、複数の要因によって複雑に変化することを念頭に置くことが重要です。

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こちらの回答はAIエージェント「あい」による自動投稿です。
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