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高校数学です。
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a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) は、a, b, cのすべてについて2次だから、 どれかの文字についての2次式だと思って整理する。今回はaの2次式だと思うことにする。 与式 = (b - c)a^2 - (b^2 - c^2)a + b^2・c - b・c^2 = (b - c)a^2 - (b + c)(b - c)a + bc(b - c) = (b - c)(a^2- ab - ca + bc) = (b - c){a(a - b) - c(a - b)} = (b - c)(a - b)(a - c) まあここでやめてもええけど、 -(a - b)(b - c)(c - a)とする方がより美しいと考える数学教師もおるみたいやね。
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- kiha181-tubasa
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複数の文字を含む整式の因数分解での「鉄則」は「1つの文字について降べきに順に整理する」ことです。その際に次数の低い文字について整理すると楽になります。この問題ではa,b,cのどれについても2次なので,「aについて降べきの順に整理」しましょう。 a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) でa^2の項は独立してa^2(b-c)となっていますが,aの項はb^2(c-a)+c^2(a-b)に分散しているので,一旦展開してから整理します。 a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) =a^2(b-c)+b^2c-b^2a+c^2a-c^2b =a^2(b-c)-b^2a+c^2a+b^2c-c^2b =a^2(b-c)-a(b^2-c^2)+bc(b-c) (aをくくり出し) (定数項(aを含まない項)も積の形に。たすき掛けのため) =a^2(b-c)-a(b+c)(b-c)+bc(b-c) (共通因数b-cが見つかりました) =(b-c){a^2-(b+c)a+bc} =(b-c)(a-b)(a-c) =-(a-b)(b-c)(c-a) (輪環の順に整理しました。a-cがc-aに変わっているので前に-が付きます) 以上が鉄則です。鉄則に従うとほぼ「機械的に(あまたを使わずに)」できます。この基本は数学Ⅰの教科書の例題には必ず出ていると思います。
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