孤立系を仮定した大気の温度分布

質問

はじめて質問させていただきます。
地球を熱を通さない幕で覆い、十分に時間が経ったとしたとき、気温の鉛直分布はどのようになると考えられますか？　但し、内部からの熱の発生は無視できるとし、現在の全熱量を保存したまま分配すると考え、また、放射は関係しない大気であると仮定します。空気の運動はたぶん自転とともに動く剛体回転になるでしょう。

１つの答えの候補は等温になるです。これは孤立系の温度は一様になると考えられるから（重力があっても適用できるかどうかが問題？）ですが、温度の不均一があると、その不均一を使って仕事ができると考えられるからでもあります。例えば、等温以外の気温分布のとき、空高くまで届く金属棒（上下の端以外は断熱材で覆っておく）を立てると、熱伝導の違いからその金属棒は周囲と異なる温度になると考えられ、その温度差から仕事をすることが可能です。最終状態はそれができなくなる等温と考えられます。

しかし、この答えに以下のような疑問をもちました。ある時点で等温であったとし、各気体分子にそのときの高度の目印をつけたとします。時間が経ち、分子が混ざっていくと、下層には上から下りてきた分子が、上層には下から上がってきた分子が多くなると考えられます。このとき、重力の位置エネルギーと熱運動のエネルギーの和が保存するとしたら、下へ移動したものほど運動エネルギーが大きくなると考えられ、下層ほど暖かい分布になるような気もします。（圧力のことをどう考えるかが問題？）

結局、どのような温度分布になるべきか、わからなくなってしまいました。金属棒があるときとないときで温度分布が違うという答えもありうるかもしれませんが、どちらの場合でも成り立つ一般的な答えがあってほしい気がします。問題設定は単純なので、どこかの教科書にでも載っていそうなのですが、質問させていただきました。

回答No.5

decidrophob

大変興味深い課題ですね。
少なくとも、上空のほうが高温であることが自明でないことを気づかせてくれてうれしいです。

わかりやすく古典理想気体で、
問題の部分をクローズアップしましょう。

なにか、他の方の回答は、ところどころ現象論（の方程式）、ところどころ本質論って感じなので、
私は本質論に特化して、わかるところまで言います。

簡単のため、上が抜けた垂直のシリンダーを考え、
重力場は一様、
気体分子の水平方向の運動は無視します。

すると、もっとも単純に考えれば、
地面に気体分子が弾性衝突して、後は、抵抗なく放物線を描いているというイメージが描けます。
なので、上部と下部の気体分子の行き来は、放物線の行きと帰りなので、等しいです。
（っていうか、定常状態ならば、違うわけがない！！）
当然ながら、下部のほうが、運動エネルギーが小さく、小さな放物線しか描けない分子も存在するので、密度が高くなります。
しかし、上空は上空で、放物線の上の方に位置するわけだから、気体分子の平均の速さがより速いとも言い切れません。
なので、おっしゃるような等温っていうのも、まったくありえないこともないように思えてしまいます。
等温の場合は、
各層に関して、理想気体の方程式を考えれば、
PV = nRT
で、T が等しいので、
圧力が密度のみに依存している状態と考えればすっきりしないわけでもありません。

実際のところ、どのような温度分布になるかは、
ボルツマン分布に平行移動みたいな操作をしたときにどうなるか？ってことを調べないといけませんが、
よくわかりません。
まあ、でも、ここまでヒントがでれば、調べやすいかな？

で、上記の高度な計算を省く意味では、
重力の影響を受けない金属棒の導入は、画期的な考えかもしれない。
確かに、定常状態から仕事をとれるのはおかしい感じ。

ということは、
逆に、ボルツマン分布の基本性質のひとつに、
上記の平行移動に対する不変性っていうのがあるのでしょう。

面白いですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。面白いと思う方がいてくださってうれしいです。
問題の簡単化がわかりやすくしてくれそうなのですが、まだ十分に納得できてはいません。補足に書きます。

補足

基礎的な問題なので、どこかに回答があると思っていたのですが、少なくともあまり知られていないみたいですね。

簡単化はよくわかります。
が、ボルツマン分布に平行移動というところが、重力で変形するということだと思うのですが、よくわかりません。もし簡単に説明していただけるとうれしいです。分布を考えないとだめかどうかも気になっています。

No3さんの指摘されたように、分子同士の衝突をどう考えるかということも重要だと思っていますが、ちがうでしょうか？

もし、コメントがいただけると幸いです。