大学数学

質問

次の問題は大学の課題なのですが全く手も足も出ずまず何をすればよいかもわかりません。
よかったら手助けをしていただけませんか

R を実数全体の集合とし，𝑋 = R × R \ {(0, 0)} とおく．このとき 𝑋 上の関係 𝑅 を
(𝑥, 𝑦)𝑅(𝑥′, 𝑦′) ⇐⇒ ∃ 𝑎 > 0 [ (𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥′, 𝑎𝑦′) ]

と定義する．この 𝑅 について次の問に答えよ

(1) 𝑅 は 𝑋 上の同値関係になることを示せ．

(2) 集合 𝑆 を次のように定める．𝑆 ={(𝑥, 𝑦) :√(𝑥＾2 + 𝑦＾2 )= 1}
このとき 𝑋 の 𝑅 による商集合 𝑋/𝑅 と 𝑆 の間に全単射が存在することを示せ．

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

では取り敢えず手助けだけ

(1)
同値の3条件、つまり
* 反射律 <a,b>R<a,b>
* 対称律 <a,b>R<c,d> ⇒ <c,d>R<a,b>
* 推移律 <a,b>R<c,d>かつ<c,d>R<e,f> ⇒ <a,b>R<e,f>
を全て確認せよ

(2)
以下、(a,b)のRによる同値類を[a,b]を書くことにする。
集合としてS⊂Xであるから、恒等写像 f:S→X ( f(x,y) = (x,y) ) と、XからX/Rへの自然な射影 g: X→X/R (g(x,y) = [x,y]) の合成 h = g◯f を考えることが出来る。
hが全単射、つまり全射かつ単射であることを示せば良い。

hが全射であること：X/Rの任意の元[x,y]に対して、代表元 (kx, ky)をうまく取ると、(kx,ky)∈Sに取れることを示せ。この(kx, ky)に対し h( (kx,ky) ) = [x,y]であるから、hが全射であることが言える。

hが単射であること：Sの二点 (a,b), (c,d)に対し、h( (a,b) ) = h( (c,d) )、つまり[a,b] = [c,d] 、つまり (a,b)R(c,d)なら (a,b) = (c,d)であることを示せ。これからhが単射であることが言える。

お礼

何とか出来た気がします！
ありがとうございました！

回答No.2

f272

(𝑥, 𝑦)𝑅(𝑥′, 𝑦′) ⇐⇒ ∃ 𝑎 > 0 [ (𝑥, 𝑦) = (𝑎𝑥′, 𝑎𝑦′) ]
という関係Rは，簡単に言えば，原点を通る同じ半直線状にあるという関係です。またSは原点中心，半径1の円周です。
Rが同値関係になることは明らかだろうし，X/RはSと同一視できることも明らかです。それを数学的な言葉で書けばおしまい。