集合の計算方法がわかりません

質問

数学の質問です。
以前2でも3でも割り切れない数を式に表していただけないかと質問したところ、おふたりの方々から集合を用いて式を作っていただきました。

過去の質問
https://sp.okwave.jp/qa/q10036937.html#answers

ですが私の数学知識が乏しいため集合の計算方法が分からず途方に暮れております。
ネットでも調べてみたのですが、公式のようなものが見当たらず困っています。

そこで下記①②の計算方法について解説してくださる方はいらっしゃいますでしょうか。片方だけでも構いません。

①｛（2N-1）∩〔（3N-1）∪（3N-2）〕｝
② 自然数N － （2n ∪ 3n）

追記で下記の式も、なぜ2でも3でも割り切れない数を表せるのか説明してくださる方は是非よろしくお願い致します(こちらの説明のみでも構いません)。※こちらの式は計算方法はわかります。

a[n] = 3n - {3 - (-1)^n}/2

長文になりましたが、何卒よろしくお願い致します^_^

回答No.5

Nakay702

＃１です。補足です。
最初、「2で割りきれない数を2N-1、3で割り切れない数を3N-1&3N-2と表すと」というご指定がありましたので、｛（2N-1）∩〔（3N-1）∪（3N-2）〕｝とお答えしましたが、どなたかもお書きのように、同じ内容をもっと簡単に表すことも可能ですね。
つまり、〔（6N＋1）∪（6N＋５）〕、あるいはもっと簡潔な（6N±1）です。その他にも、いろいろな表現法があるものですね！ それぞれの説明を拝見できて、いい勉強になりました。

回答No.4

gamma1854

最後の、
a[n] = 3n - { 3 + (-1)^n }/2, (n=1, 2, ...)
は私が投稿したものです。
-------------------
a[n] は、
{１　５　７　１１　１３ ・・・}
ですから、階差(2度)をとり計算して上式を得ます。

回答No.3

chie65536（@chie65535）

＞追記で下記の式も、なぜ2でも3でも割り切れない数を表せるのか説明してくださる方は是非よろしくお願い致します

3n - {3 - (-1)^n}/2について。

３で割り切れない数、つまり、３の倍数でない数というのは「３で割って余りが１か２になる数」で、言い換えれば「３の倍数から、１または２を引いた数」です。

3nは「３の倍数」です。

「{3 - (-1)^n}/2」は、nが偶数なら1、nが奇数なら2になります。

「3n - {3 - (-1)^n}/2」は「３の倍数から、１または２を引いた式」ですから「３で割り切れない数」になります。

次に、２で割り切れない数、というのは、言い換えれば「奇数」の事です。

3nの値は、nが偶数なら「奇数×偶数」で偶数です。nが奇数なら「奇数×奇数」で奇数です。

「{3 - (-1)^n}/2」は、nが偶数なら1、nが奇数なら2になります。つまり、nが偶数なら奇数、nが奇数なら偶数になります。

従って「3n - {3 - (-1)^n}/2」は、nが偶数なら「偶数 - 奇数」に、nが奇数なら「奇数 - 偶数」になり、どちらも引き算の結果は「奇数」になります。

「常に奇数になる」とは「２で割り切れない」という事です。

なので「２でも３でも割り切れない」のです。

回答No.2

chie65536（@chie65535）

＞そこで下記①②の計算方法について解説してくださる方はいらっしゃいますでしょうか。片方だけでも構いません。

集合は「概念」ですから、単純計算は出来ません。

例えば①の「｛（2N-1）∩〔（3N-1）∪（3N-2）〕｝」は、

「2N-1に当てはまる自然数の集まり」かつ「「3N-1に当てはまる自然数の集まり」または「3N-1に当てはまる自然数の集まり」」という「集まり」です。

もっと抽象的な例で考えましょう。

「丸いもの」かつ「「赤いもの」または「青いもの」」という集合を考えます。

集合（何かの集まり）ですから「計算」なんか出来ません。

１つの「要素」、例えば「青いボール」があります（集合を構成する「何か」の事を「要素」と言います）

この要素が、集合「丸いもの」かつ「「赤いもの」または「青いもの」」に入るかどうか考えます。

答えは「入る」ですから、集合「丸いもの」かつ「「赤いもの」または「青いもの」」の要素の１つに「青いボール」があると判ります。

集合「｛（2N-1）∩〔（3N-1）∪（3N-2）〕｝」も、同じです。

要素が１つ挙げられた時、それが「集合に入る」か「集合に入らない」かを判断する事が可能です（と言うか「入るか入らないか判断すること」しか出来ません。当然「計算」なんか出来ません）

例えば「11」を挙げられた時、それが⓵の集合に入るか入らないかを判断する、しか出来ません。

2N-1の集合は「1、3、5、7、9、11、13、15、17…」という集合ですから、11は入る可能性があります。

3N-1の集合は「2、5、8、11、14、17、20、23…」という集合ですから、11は入る可能性があります。

「または」になっているので、3N-2の集合に11は入ってませんが、3N-1の方に入っていれば後半部分の条件を満たすので、問題ありません。

11は、前半部分の集合と、後半部分の集合の両方にあるので「条件を満たす要素」つまり、⓵の集合の中に含まれる、という事になります。

このように、集合とは「たくさんの（場合によっては１個の）要素の集まり」ですから「ある要素が、その集合に含まれるかどうか？」しか、判らないのです。

「集合」で「自然数についての何らかの条件」を提示された場合、やるとしたら「１は？２は？３は？４は？…と、順に調べていく」くらいしか出来ません。

回答No.1

Nakay702

以下のとおりお答えします。
簡単のために、２つの円A、Bがあると考えてください。

（１）「円Ａに含まれるものと円Ｂに含まれるものを足す」ことを表すのに用いられる記号が「∪」で、「ジョイント、和集合、合併集合」などと呼びます。「A∪B」と書きます。
視覚的には、円Ａと円Ｂが並んでいる場面をイメージすると分かりやすいと思います。（その「両方を含む」という意味です。）

（２）また、「円Ａに含まれると同時に円Ｂにも含まれる」ことを表すのに用いられる記号が「∩」で、「ミート、積集合、共通集合」などと呼びます。「A∩B」と書きます。
視覚的には、円Ａと円Ｂが部分的に（紡錘形を成して）重なっている場面をイメージすると分かりやすいと思います。（その「重なった部分」という意味です。）

以上から、お尋ねの式の意味を説明すると、こうなります。
①｛（2N-1）∩〔（3N-1）∪（3N-2）〕｝のうち、〔（3N-1）∪（3N-2）〕は、《（3N-1）に属する数と（3N-2）に属する数とを足したもの》を表します（これを仮にPとします）。そして、（2N-1）∩〔P〕は、《（2N-1）に属し、かつPに属すること》を表します。すなわち、冒頭の与式は、「2で割り切れない数であり、かつ3でも割り切れない数の集合」を表すことになります。

② 自然数N － （2n ∪ 3n）のうち、（2n ∪ 3n）は、《２の倍数と３の倍数を加えたもの》を意味します（これを仮にQとします）。ということは、自然数N － （2n ∪ 3n）の意味することは、「あらゆる自然数から、（Qすなわち）２の倍数と３の倍数を差し引いた数（の集合）」を表すことになると思います。