音波のエネルギー密度

質問

音波のエネルギーの式に関する質問です。

速度場をv(ベクトル)、密度を、流体が静止しているときの値ρ_0からのずれρ'で表します。
ρ=ρ_0+ρ'
音波の振幅が小さいとし、vの大きさ、ρ'も小さいとします。

音波にともなうエネルギー密度は、
Ε=(1/2)ρ_0v^2+(1/2)(c^2/ρ_0)ρ'^2　(1)
(c:音速)
音波にともなうエネルギーの流れの密度j_εは
j_ε=c^2ρ'v (j_e:ベクトル) (2)
、(1)と(2)は保存則　∂Ε/∂t+divj_ε=0をみたすそうなのですが、この保存則が導出できなくて困っています。

回答No.3

karaha · ベストアンサー

．．．いろいろ考えてみましたが、結局解けませんでした。役立たずですみません。

連続体力学や流体力学を学ぶ人は、案外多いと思うのですが、音波の分野は専門外だとすっ飛ばすことが多いようです。

ですので、音波についての基礎的な式を併記するか、参考ＵＲＬを示すと、解いてくれる人も増えるのではないでしょうか。（自分も、近似の式を求める場合は断熱扱いなのを今回はじめて知りました）

また、たしか数学専攻の人の中には、完全流体の式の解析解を求めるのを研究テーマにしてる人もいたと思いますので、数学のカテゴリにも質問すると良いかもしれませんです。

お礼

ありがとうございます。
質問欄には最低限の式を選んで書いたものですから・・・。
Εとj_ε（２つとも近似されていますが）を導く過程や
連続の方程式などなど、細かいことを書くと１ページや２ページじゃすまされなくなってしまうものですから。
「これこれの本の何ページ何行目がわかりません」と書くわけにもいかないので・・・。

僕と同じ本を読んでいそうな人と連絡がとれつつあるので、その人にあたってみようと思います。
すいません。

回答No.2

karaha

えと、ごめんなさい。
第３項は無視しちゃだめかもしれないです。
エネルギー流速 j の式ではρ'v を無視してませんので。

補足

∂Ε/∂t+divj_ε
=ρ_0|v|(∂|v|/∂t)+(c^2ρ'/ρ_0)(∂ρ'/∂t)+c^2divρ'v
=ρ_0|v|(∂|v|/∂t)+(c^2ρ'/ρ_0)(∂ρ'/∂t)-c^2(∂ρ'/∂t + ρ_0divv )

いまのところここで止まっています。
あ、すいません。cは一定でして、
c=1/sqr(ρ_0K)
Kは圧縮率でして、
K^{-1}≡ρ[(dP/dρ)|ρ=ρ_0]
[(dP/dρ)|ρ=ρ_0]:dP/dρの結果にρ=ρ_0を代入したもの。

回答No.1

karaha

時間が無くて最後まで考えられませんでしたが、どうも式が足りない気がします。

とりあえず、最低でも以下の式を追加しないと解けないのでは？

∂ρ/∂t + div(ρv) = 0
∂(ρ_0+ρ')/∂t + div((ρ_0+ρ')/v) = 0
∂ρ'/∂t + ρ_0div(v) + div(ρ'v) = 0
――第３項は十分小さいとみなせば？
∂ρ'/∂t + ρ_0div(v) = 0

また、音速 c を時間的・空間的に一定とみなしてよいかどうかも、定義して欲しいと思いました。中途半端な回答でごめんなさい。