limについて。

質問

例えば、lim(x → 1)（x＋3)＝4と書きますが、これは、なぜ＝かというと、4に限りなく近づいて、
もう4とみなしてもいいくらい大差がないから。ということで、＝なのでしょうか？ご教授頂けると幸いです。すみませんが。

回答No.22

muturajcp · ベストアンサー

K>4
としたのは4には収束しない事を強調するためにK>4にしたのです
だから
単に
「すべてのKに対して」でもかまいません
-------------------------
例えば
x+3が
4に限りなく近づいて
もう4とみなしてもいいくらい大差がない値を
x+3=4+s
とすると
x=1+s
となるのだけれども
そのsにたいして
a=|s|>0
とすると
aは0とみなしてもいいくらい大差がない値なのだから多くとも1より小さいから
0<a<1
x≠1に対して
f(x)={|(x-1)^2-a^2|+4x-4+a^2}/(x-1)
と
関数f(x)を定義すると

|x-1|≧aの時
f(x)
={(x-1)^2-a^2+4x-4+a^2}/(x-1)
=(x^2-2x+1-a^2+4x-4+a^2)/(x-1)
=(x^2+2x-3)/(x-1)
=(x+3)(x-1)/(x-1)
=x+3
だから
f(1+a)=4+a=4+|s|
は
もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
f(1-a)=4-a=4-|s|
も
もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
だけれども

|x-1|<aの時
f(x)
=(a^2-(x-1)^2+4x-4+a^2)/(x-1)
=(a^2-x^2+2x-1+4x-4+a^2)/(x-1)
=(a^2-5+6x-x^2)/(x-1)
={a^2+4-(x-3)^2}/(x-1)

全てのK>4に対して
---------------------------------------------------------
a<1
だから
0<|x-1|<a
とすると
|x-1|<1
-1<x-1<1
0<x<2
-2<-x<0
0<3<5-x<5
|5-x|<5
-5<-|5-x|

|f(x)|
=|a^2+4-(x-3)^2|/|x-1|
=|a^2-x^2+6x-5|/|x-1|
=|a^2+(x-1)(5-x)|/|x-1|
=|5-x+{a^2/(x-1)}|
≧|a^2/(x-1)|-|5-x|
↓-|5-x|>-5だから
>a^2/|x-1|-5

ここで
a^2/|x-1|-5>Kとなるようなxの範囲を求めると
↓両辺に5を加えると
a^2/|x-1|>K+5
↓両辺に|x-1|/(K+5)をかけると
∴
a^2/(K+5)>|x-1|
だから
δ=a^2/(K+5)と予想する
----------------------------------------------------------
δ=a^2/(K+5)
0<|x-1|<δ
とすると

0<a<1だから
↓両辺にaをかけると
0<a^2<a
↓a<1だから
0<a^2<a<1

4<Kだから
↓両辺に5を加えると
9<K+5
↓両辺にa^2/{9(K+5)}をかけると
a^2/(K+5)<a^2/9
↓δ=a^2/(K+5)だから
δ<a^2/9

a^2<a<1
↓各辺を9で割ると
a^2/9<a/9<1/9
↓δ<a^2/9だから
δ<a^2/9<a/9<1/9
↓1/9<1だから
δ<1
↓|x-1|<δだから
|x-1|<1
だから

0≦x-1の時
|x-1|=x-1だから
↓|x-1|<1だから
x-1<1
↓0≦x-1だから
0≦x-1<1
↓各辺に1を加えると
1≦x<2

x-1<0の時
|x-1|=1-xだから
↓|x-1|<1だから
1-x<1
↓両辺にx-1を加えると
0<x
↓x-1<0だから
↓x<1だから
0<x<1
↓これと1≦x<2から
0<x<2
0<x
↓両辺に5-xを加えると
5-x<5
↓x<2<5だから
↓x<5だから
↓0<5-xだから
↓5-x=|5-x|だから
|5-x|<5
↓両辺に-5-|5-x|を加えると
-5<-|5-x|

0<|x-1|<δ
↓δ=a^2/(K+5)だから
|x-1|<a^2/(K+5)
↓両辺に(K+5)/|x-1|をかけると
K+5<a^2/|x-1|

δ<a^2/9<a/9<1/9
δ<a^2/9<a/9
δ<a/9
↓a/9<aだから
δ<a

0<|x-1|<δ
↓δ<aだから
|x-1|<a
だから

|f(x)|
=|a^2+4-(x-3)^2|/|x-1|
=|a^2-x^2+6x-5|/|x-1|
=|a^2+(x-1)(5-x)|/|x-1|
=|5-x+{a^2/(x-1)}|
≧|a^2/(x-1)|-|5-x|
↓-|5-x|>-5だから
>a^2/|x-1|-5
↓a^2/|x-1|>K+5だから
>K+5-5
=K
>4
だから

全てのK>4に対して
δ=a^2/(K+5)とすると
0<|x-1|<δとなるすべてのxに対して
|f(x)|>K>4
となるから
∴
lim_{x→1}|f(x)|=∞≠4
となる

だから

f(1+a)=4+a=4+|s|
は
もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
f(1-a)=4-a=4-|s|
も
もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
だから
という理由だけで
lim_{x→1}f(x)=4
としてしまうと
実際には
lim_{x→1}|f(x)|=∞≠4
となる事もあるのだから
「
もう4とみなしてもいいくらい大差がない値
だから
」
lim_{x→1}f(x)=4
としているのではありません
間違いです

回答No.1

muturajcp

違います
「
もう4とみなしてもいいくらい大差がないから
」
ではありません

どんなに小さな正数
ε>0
に対しても
それよりも小さく
|x-1|<ε
となる
すべての
x
に対して

|(x+3)-4|<ε

となるから

lim(x→1)(x＋3)=4

と書くのです
これは定義なのです

補足

もう少し詳しくご教授頂けると幸いです。すみませんが。