イールドカーブのパラレルシフトについて

質問

長期金利と短期金利が並行して上昇するパラレルシフトが、金融機関に重大な損失になるのは何故ですか？

長期短期の金利が上昇すれば資産側の長期債券価値が下がり、負債側の短期預金の価値も下がるから、結果としてバランスが取れて損失は発生しないのでは？

以下を前提としています。
長期債券を多く保有する銀行などは、資産として長期債を大量に持つ一方、負債サイドは主に短期預金である。

独学ですので、わかりやすく教えてくださいますか。
よろしくお願いします。

回答No.3

statecollege · ベストアンサー

イールド・カーブのように利子率の長期と短期の関係を「利子率の期間構造」（term structure of interest rates)といいます。通常、短期利子率は低く、長期利子率は高くなっています。この期間構造を説明する理論の一つが期待仮説です。
いま、経済は２期間ー1年目と2年目ーからなるとしましょう。1年目が「現在」、2年目が「将来」です。1年目のはじめと2年目のはじめに発行される短期債券、そして1年目のはじめに発行される長期債券の２つのタイプの債券がある。長期債券は2年目の終わりに償還される。1年目に発行される短期債券の利子率はr1、2年目のそれはr2し、長期債券の2年間の利子率をRとする。すると、Rは年率ではいくらになるか？
1+R = (1+r)^2
を解くと、
ｒ＝(1+R)^1/2 - 1 =√(1+R) - 1 ≒R/2
となるが、これが年率で表した長期利子率です（なぜ？）
一方、期待仮説によると、長期利子率Rは短期利子率r1とr2によって
1+R = (1+r1)(1+Er2)
となる。ここで、右辺を展開すると
1 + r1 + Er2 + r1Er2 ≒1 + r1 + Er2
となる（なぜ？）ので、近似的には結局
r = (r1 + Er2)/2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）
によって説明される。長期利子率(年率）は現在と将来の短期利子率の平均に等しい。ここで、Er2はr2の予想値（期待値）です。1年目のはじめには2年目に発行される利子率はわかっていないので、予想値（期待値）がはいる。いま、r1＜Er2、つまり、将来の短期利子率は現在の短期利子率より高くなると予想されるとすると、
r1 < r
と長期利子率(年率）のほうが短期利子率のほうが高くなるので、イールド・カーブは右上がりになる。いま、このような状況のもとで、イールド・カーブがｄだけパラレルシフトするなら、長期利子率(年率）r+d, 短期利子率はr1+dとなるが、さらに2年目に発行される短期利子率の期待値もEr2+dと、dだけシフトするなら、
r+d = (r1+d + Er2+d)/2
と、（＊）が成り立つ。したがって、短期で資金を集め、それを長期債券に投資する銀行は成り立つということです。あなたの主張は成り立つと思います。

お礼

改めての回答を下さり、どうもありがとうございます。
実のところ、最初のご回答もまだ咀嚼できていない状況です。申し訳ないです。数学を全く理解できていない自分が情け無いです。

一日も早く理解できるよう、努力します。
どうもありがとうございました。

回答No.2

statecollege

私の回答１を撤回します。理由は、Rとｒを直接比較するのはおかしいからです。比較するなら、長期利回りRを年率で表わした値と短期利回りｒを比較しないといけないからです。

回答No.1

statecollege

単純化するため、期間１と２からなる2期間の経済を考え、短期の利子率（利回り）をｒ、長期の利子率をRと書きましょう。もちろん、短期とは１期間に適用される利子率、長期とは２期間に適用される利子率です。すると、不確実性の存在しない経済では、「裁定」が働いてRとｒの間には
1+R = (1+r)^2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）
の関係が存在する。いま期間１の期首に１円の資産をもつ個人が長期で運用するなら、期間２の期末には1+R円の粗収益（＝元金プラス利子収入）を得るのに対し、短期で運用するなら、期間１の期末には1+r円を得るので、それを期間２に期首に再び短期で運用する（つまり、短期の福利で運用する）なら、期間２の期末には(1+r)(1+r) = (1+r)^2の粗収益を得ることになる。長期で運用するほうが短期の複利で運用するより得なら、つまり、（＊）の左辺のほうが右辺より大きいなら、すべての個人は長期で運用するだろうし、逆が成り立つなら、短期の複利で運用するだろう。したがって、両者の間に「裁定」の力がはたらいて、（＊）の等号が成立する。（＊）の右辺を展開すると、
1+R = 1+ 2r + r^2
となるが、ｒは小さい値なので、r^2を0に近い値なので無視すると
R ≒ 2r
が成り立つ。つまり、長期利率は短期利率の2倍の大きさでなくてならない。したがって、Rとｒのパラレルシフト（同じ大きさのシフト）なら、（＊）の右辺のほうが大きくなる。たとえば、(＊）が成り立つ状態からｒがr+xにシフトし、Rも同じだけR+xにシフトすると、
R+x < 2(r+x)＝2r + 2x = R+2x
と、短期の運用したほうが収益は大きくなる。銀行経営が短期資金を集め、長期債券に投資して成り立っているとするなら、銀行経営が成り立つためには長期利率は短期利率のシフトの2倍の大きさでシフトしないといけない。長期利率が短期利率と同じｘだけの、パラレル・シフトなら、銀行経営は赤字になることになる。

お礼

早速の回答を下さり、どうもありがとうございます。拙い質問に付き合って下さり、お礼申し上げます。
数式での説明に若干頭がクラッとしていますが、理解出来るよう頑張ってみます。
経済を考えるには、数学の基礎が必須なんだなぁと痛感しています。