数学I 集合と論理についての質問です

質問

教えて頂きたいことがあります。

高校数学の命題と証明の分野になります。

１．「(pまたはq)→r」の真偽判定において、
p→rとq→rの両方とも確認して真偽判定するのかどうか

２．「p→(qまたはr)」の真偽判定において、
p→qとp→rの両方とも確認して真偽判定するのかどうか

宜しくお願い致します。

回答No.3

muturajcp · ベストアンサー

1
V=(または)=(or)
Λ=(かつ)=(and)
-p=(pでない)=(pの否定)
とする

{(pまたはq)→r}
={(pVq)→r}
={-(pVq)}Vr
=(-pΛ-q)Vr
={(-p)Vr}Λ{(-q)Vr}
=(p→r)Λ(q→r)

{(pまたはq)→r}=(p→r)Λ(q→r)
だから
(p→r)と(q→r)の両方とも真の時
{(pまたはq)→r}は真となる

例えば
p=(偽)
q=(真)
r=(偽)
とすると

(p→r)={(偽)→(偽)}=(真)
だけれども

{(pまたはq)→r}
={((偽)または(真))→(偽)}
={(真)→(偽)}
=(偽)
になる

2.

{p→(qまたはr)}
=(-p)V(qVr)
={(-p)Vq}V{(-p)Vr}
=(p→q)V(p→r)

{p→(qまたはr)}=(p→q)V(p→r)
だから

(p→r)と(q→r)のどちらかが真の時
{p→(qまたはr)}は真となる

お礼

muturajcpさん

ご回答頂きありがとうございました。
大変助かりました。

回答No.2

f272

１．「(pまたはq)→r」の真偽判定
rが真ならば，必ず真です。
rが偽ならば，pとqが偽のときは真で，それ以外のときは偽です。
そしてこれは
(p→r)または(q→r)
の真理値とは同じではありません。

２．「p→(qまたはr)」の真偽判定
pが偽ならば，必ず真です。
pが真ならば，qとrが偽のときは偽で，それ以外のときは真です。
そしてこれは
(p→q)または(p→r)
の真理値と同じになります。

お礼

f272さん

ご回答頂きありがとうございました。
大変助かりました。

回答No.1

maiko04

１．ｐｑについて
真・真→真
真・偽→真
偽・真→真
偽・偽→偽
のでどちらか真であればもう一方は判定不要。

２．ｑｒについて
真・真→真
真・偽→真
偽・真→真
偽・偽→偽
のでどちらか真であればもう一方は判定不要。

お礼

maiko04さん

ご回答頂きありがとうございました。
大変助かりました。