連立不等式

質問

「次の連立不等式を解きなさい」という11問の問題プリントで最後の最後で躓いてしまいました・・・。どうしてもわからないので教えていただけないでしょうか？

x-a<x^2<-2x+8

という問題です。aについて場合分けしたんですけど、うまくいかなくて・・・。どうかお願いいたします！

回答No.2

kurobe3463 · ベストアンサー

x-a<x^2<-2x+8

は2つの不等式が連立しています．
x^2<-2x+8
の方の解は -4<x<2 はすぐわかります．
問題は
x-a<x^2
の方．
つまり x^2-x+a>0 の解を求めることになる．

不等式の解はある程度はパターン化できますが，パターンに頼ると手も足も出ないでしょう．
基本に立ち返って，グラフで考えなければなりません．
グラフが面倒では，不等式の解法の本質は理解できません．

y=x^2-x+a と x軸との共有点がないのは
1-4a<0，つまり a>1/4 のときで
このとき放物線は x 軸の上方．
不等式　x^2-x+a>0　の解は「すべての実数．」
つまり問題の不等式の解は，-4<x<2．

y=x^2-x+a と x軸との共有点がある場合，
つまり判別式
(-1)^2-4×1×a=1-4a≧0のときx軸と曲線の共有点は
(1+√(1-4a))/2，(1-√(1-4a))/2
となります．

a=1/4 のとき，曲線と x軸は接して．接点は
x=1/2 のとき．
つまり，x^2-x+a>0 の解は
1/2 以外の実数全体だから
問題の不等式の解は
-4<x<1/2, 1/2<x<2

aがどんどん小さくなると，放物線は下に下がってきます．
a>-2 まではこの放物線とx軸との共有点はもうひとつの不等式の解
　-4<x<2
に含まれるので，-2<a<1/4 のとき解は
-4<x<(1-√(1-4a))/2，(1+√(1-4a))/2<x<2

a≦-2 となると，
右側の交点 (1+√(1-4a))/2 が 2 を超えてしまうので，a>-20 までは解は
-4<x<(1-√(1-4a))/2
だけである．
さらに

a≦-20 ではさらに左側の交点が -4 の左に行ってしまうので，「解なし」

とうことで a は
1/4，-2，-20
の3箇所で区切って場合分けをして解を求めることになります．

お礼

なるほど！判別式とグラフを用いてxの範囲を出すんですね！！有難うございます！とっても分かりやすかったです♪

回答No.3

tkm

＃1です
すいません、不等号の向きを勘違いしてました
解き方は＃2さんのようにグラフを書いてやってみてください～

お礼

なんとか解くことができました♪
本当に有難うございます！！

回答No.1

tkm

この問題
　x-a<x^2<-2x+8
は次の二つの不等式の連立不等式になることは分かると思います
　x-a<x^2
　x^2<-2x+8
下の式の解は分かると思うので（ -4<x<2 です）
上の方に焦点をしぼって説明したいと思います

まず右辺から左辺を引きますと次のようになります
　x^2-x+a>0
次に
　x^2-x+a=0
という問題を考え、解の公式を用いてこの解を求めると
　　　1±√(1-4a)
　x=-------------＝α、β
　　　　　　2
となります。説明の簡略化のため、小さいほうの解をα、大きいほうの解をβとさせてもらいます。連立不等式は高校の範囲なので解の公式は習ってますよね？
よってルートの中身は正でないといけないので必然的にa>1/4 の時は解なしと分かります
次にa≦1/4の時を考えますと、連立不等式の下の条件式の答えは
　α＜ｘ＜β
となります
あとは連立不等式の上の条件式の答え（-4<x<2）と組み合わせますと、ａの値によって解は次のようになります

a < -1/2のとき
　-4 < x < 2

-1/2 < a < (1-√3)/4のとき
　α < x < 2

(1-√3)/4 < a ≦1/4のとき
　α < x < β

a>1/4 のとき
　解なし

後半分かりにくかったかも知れませんが
実際に絵を書いてみると分かり易いですよ

お礼

丁寧な解説、有難うございます！
一つ分からない点がおるんですが、
√内を正にする為にa≦1/4と考え条件式は「α＜ｘ＜β」とありますが、連立不等式x^2-x+a>0より、「x＜α,x＞β(α<βの時)」とは違うんですか？けどそうなると答えが絞れなくなるような・・・すみません、理解力なくて＞＜