直線の方程式、2直線の関係

質問

この問題がわかりません。どなたか説明お願いします、、、！解答を読んでもよく分かりませんでした、、、

(答えはm＝3-2√5/11です)

回答No.7

staratras

三角形の必要な辺の長さと角度さえわかれば、各点の座標を計算しなくとも題意を満たす直線の傾きは求められるはずだという発想の別解です。かなり「素直でない」のでお勧めはしませんが「こんな方法もある」ということです。

下の図のように定め、BQ=xとすると、△RBQの面積は△ABCの面積4の1/2の2であり、△RBQ=1/2BQ・BR　だからBR=4/x。またOP=√2、OB=2√2より、OQ=2√2-xここでOPとABは平行だから、△QOP∽△QBR　よりOQ/BQ=OP/BR

(2√2-x)/x=√2/(4/x) これを整理するとx^2+2√2x-8=0
これを解いて、x=-√2±√10,0<x<2√2　だから、x=√10-√2
したがってtanθ=OQ/OP=(3√2-√10)/√2=3-√5

求めるべき直線PRの傾きmは下の図のtan(-μ)である。
m=tan(-μ)=tan(θ-45°)=tanθ-1/1+tanθ=(2-√5)/(4-√5)=(3-2√5)/11

回答No.6

staratras

No.5に添付した画像のサイズがおかしかったので、あらためて添付します。

回答No.5

staratras

No.1&3です。正攻法で三角形の面積を計算する場合、三角形BQRが直角三角形であり、下の図で薄赤色の三角形２つも直角三角形であることに気づけば計算が簡単になります。

Q(m+1/1-m.m+1/1-m)、R(3-m/m+1,5m+1/m+1)だから
BQ=√2BH=√2(2-(m+1)/(1-m))=√2(1-3m)/(1-m)
BR=√2BH'=√2(2-(5m+1/(m+1))=√2(1-3m)/(m+1)

△BQR=BQ・BR/2＝(1-3m)^2/(m+1)(1-m)=△ABC/2=2
(1-3m)^2/(m+1)(1-m)=2 これを整理すると11m^2-6m-1=0 以下同じ…。

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回答No.4

178-tall

点 O と点 B を通る直線は、
　y = x
これと直線 L ：y = mx+m+1 との交点 P の x 座標値 p は、
　p = (1+m)/(1-m)　　…(1)
点 P から x 軸へ下ろした垂線の足を P’とする。

点 A と点 B を通る直線は、
　y = -x+4
これと直線 L ：y = mx+m+1 との交点 Q の x 座標値 q は、
　q = (3-m)/(1+m)　　…(2)
点 Q から x 軸へ下ろした垂線の足を Q’とする。

各部分の面積。
　⊿OPP’= p^2/2
　台形 PP'QQ' = (4-q+p)(q-p)/2
　⊿QQ'A = (4-q)^2/2
--------------------
　三者合計 = pq - 2(p+q) + 8

これに (1), (2) を代入して、
　三者合計 = (1+m)(3-m)/(1-m^2) + 2*{ (1+m)/(1-m) + (3-m)/(1+m) } + 8
題意は、この値が 2 だという。

長々の途中をはしょった結果の、二次方程式。
　11m^2 - 6m -1 = 0

>答えは m＝( 3 - 2√5 )/11

回答No.3

staratras

No.1です。誤記の訂正と補足です。まずは訂正です。

誤：ここでAとOBの中点M(2,2)を結ぶ線分は明らかに三角形ABOの面積を2等分します。
正：ここでAとOBの中点M(1,1)を結ぶ線分は明らかに三角形ABOの面積を2等分します。

次に三角形ABOの面積を2等分する直線lと三角形ABOとの点Pから遠い方の交点Rが辺AB上にあることは自明ではなく、確認が必要です。これはRが三角形の頂点Aと一致したとき、PRを通る直線の式が
y=(-1/5)x+4/5、Q(2/3,2/3)となるので、三角形BRQ＞三角形ABO/2　となることから示せます。

回答No.2

asuncion

OAの式：y = x, ABの式：y = -x + 4, △OAB = 4 * 2 / 2 = 4
mのあたりをつける。
m = 1とするとy = x + 2, △OABと交わらないのでダメ
m = -1とするとy =-x, △OABとOでしか交わらないのでダメ
m = 0とするとy = 1, △OABの面積を2等分できないのでダメ
m = 1/2とするとy = x/2 + 3/2, △OABとBでしか交わらないのでダメ
m = -1/2とするとy = -x/2 + 1/2, なんかそれらしい
というわけで、どうやら-1/2 < m < 0らしい

y = mx + m + 1とOBとの交点をC, ABとの交点をDとする。
Cの座標
mx + m + 1 = xより(m - 1)x = -m - 1, m ≠ 1だからx = (-m - 1)/(m - 1) = y
C((-m - 1)/(m - 1), (-m - 1)/(m - 1))
Dの座標
mx + m + 1 = -x + 4より(m + 1)x = -m + 3, m ≠ -1だからx = (-m + 3)/(m + 1)
y = (m - 3 + 4m + 4)/(m + 1) = (5m + 1)/(m + 1)
D((-m + 3)/(m + 1), (5m + 1)/(m + 1))
△BCD = 2になればよいが、今のままでは求めづらいので、Bが原点に来るように全体を
x方向に-2, y方向に-2だけ平行移動する。
B'(0, 0)
C'((-3m + 1)/(m - 1), (-3m + 1)/(m - 1))
D'((-3m + 1)/(m + 1), (3m - 1)/(m + 1))
△B'C'D' = △BCD = 2
原点を含む三角形の面積を求める公式により、
△B'C'D' = |(-3m + 1)(3m - 1)/(m - 1)(m + 1) - (-3m + 1)^2/(m - 1)(m + 1)| / 2 = 2
|(-3m + 1)(3m - 1)/(m - 1)(m + 1) - (-3m + 1)^2/(m - 1)(m + 1)| = 4
左辺の分子 = -(3m - 1)^2 - (-3m + 1)^2 = -2(3m - 1)^2
左辺の分母 = m^2 - 1
|-2(3m - 1)^2 / (m^2 - 1)| = 4, |-(3m - 1)^2 / (m^2 - 1)| = 2
絶対値をはずすとき、-(3m - 1)^2 / (m^2 - 1) = 1としてよさそうだ。
-9m^2 + 6m + 1 = 2m^2 - 2, 11m^2 - 6m - 1 = 0
m = (3 ± √(9 + 11)) / 11 = (3 ± 2√5) / 11
m < 0より、m = (3 - 2√5) / 11
論理が破綻しているところがあると思いますが、ご容赦ください。

回答No.1

staratras

この問題は順を追って計算すれば解けますが、計算法を工夫した方が効率的でしょう。以下略解です。

問題は下の図のようになり、直線lはy-1=m(x+1)と変形できますので、点P(-1，1)を通り傾きがmの直線です。この直線と三角形の辺AB、BOとの交点をそれぞれ、R、Qとします。

ABは直線y=-x+4上に、BOは直線y=x上にあるので、lの式と連立させて解くと、
Q（m+1/1-m.m+1/1-m)、R（3-m/m+1,5m+1/m+1)となります。

ここでAとOBの中点M(2,2)を結ぶ線分は明らかに三角形ABOの面積を2等分します。RQが三角形ABOの面積を2等分するには、下の図でQAとMRが平行でなければなりません。

QAの傾きは(m+1)/(5m-3)、MRの傾きは2m/(1-m）だから、(m+1)/(5m-3)=2m/(1-m）これを整理すれば、11m^2-6m-1=0でこれを解けば、m=(3±2√5)/11
このうち題意を満たすのはm=(3-2√5)/11 だけです。