【電磁気】磁束密度の求め方がわかりません。

質問

磁束密度の解き方がわかりません。問題文、図に関しては画像を添付させていただいてます。今回の問題は3次元で設定されています。アンペールの周回積分を用いて解こうとしましたが、距離の置き方に疑問を感じました。個人的には（１）ではr=(x^2+y^2)と極座標で表せば良いのかと思いました。（２）で磁束を求める際に（１）と同様にrを用いても大丈夫かどうかがわかっていません。問題文には長方形の中心の座標は（c,d,0）とされていてds=dydzと置いて解こうとしました。その時、x=cをrに代入して、磁束密度Bを求め、積分しようとしましたが、dyの積分があっているかもわかりません。そのため、解答の作成をお願いします。よろしくお願いします。

回答No.1

info33 · ベストアンサー

(1)と(2) のみ。(3) は省略。

(1) I [A] の直線電流＊から r [m] 離れた地点の磁場の強さ H は、
アンペールの法則を用いて
r = √ (x^2+y^2)
I = ∫[C] H • ds = 2πr H = 2π H √ (x^2+y^2)
H = I / { 2π √(x^2+y^2) }
点P(x,y,z)の磁界H (Hx, Hy, Hz)
Hx = H *(-sinθ) = - H y /√(x^2+y^2) = - y I / {2π(x^2+y^2)}
Hy = H * cosθ = H x / √(x^2+y^2) = x I / {2π(x^2+y^2)}
Hz=0
B = μo H
点P(x,y,z)の磁束密度B (Bx, By, Bz)
Bx = -μo y I / { 2π (x^2+y^2) }
By = μo x I / { 2π (x^2+y^2) }
Bz = 0

(2)
Bx = -μo y I / { 2π (c^2+y^2) }
Φ = ∫∫ [S] B • dS = ∫∫ [S] B • dS = ∫∫ [S] Bx dydz
= -μo I/(2π) ∫[-a/2, a/2] dz ∫[d-b/2, d+b/2] y/(c^2+y^2) dy
= -μo a I/(2π) { [(1/2) ln (y^2+c^2)] [d-b/2, d+b/2] }
= { μo a I/(4π) } ln[{c^2+(d-b/2)^2}/{c^2+(d+b/2)^2}]
= M I
M= Φ/I = (1/4) ( a μo /π) } ln[{c^2+(d-b/2)^2}/{c^2+(d+b/2)^2}]

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。疑問点が解消できました。またの機会がありましたら、よろしくおねがいします。