（－１）*（－１）は何故

質問

（＋１）になるのでしょうか？
（＋１）*（＋１）＝＋１なので
（－１）*（－１）＝－１になるのでは？

回答No.13

mitoneko

負の数の加算に関しては、既知で良いですね。また、整数の乗算と加算に関して、結合則と交換則及び分配則が成立することも既知で良いですね？また、任意の整数aに対して、a+0=aで、a*1=a で、a*0=0であることも既知とします。（この程度は、確認しておかないと、スタートが出来ない・・・群から論じるのは大変です=^・・;=。整数は自然な加算と乗算に対して可換環です。）

　(-1)*(-1)+(-1) について考える。
　(-1)*(-1)+(-1) = (-1)*(-1)+(-1)*(1)　　　「a*1=aですから」
　　　　　　=(-1)*((-1)+(1))　　　　　「-1でくくりました。(分配則)」
　　　　　　=(-1)*(0)
　　　　　　=0
　となります。
　再掲すると、
　(-1)*(-1)+(-1)=0
　(-1)*(-1)+(-1)+1 = 1 　　　　　　「両辺に、1を足します。」
　(-1)*(-1)+((-1)+1) = 1
　(-1)*(-1)+0 = 1
　(-1)*(-1) = 1
　これは、質問の命題です。

回答No.12

nihonsumire

かなり分かっていらっしゃって、質問されてるようですね。ならば、定義です。

お礼

＃９で
オイラー公式による証明をしているが、それでよかったかどうか
疑問にも思う。と言うのは公式を作り出す過程で（－１）*（－１）＝１
は自明のこととして使ってる可能性があるからだ。
例えばマクローリン級数展開等で。
なので、逆に回答者の方からそのような突込みがあれば面白かったのですが・・・・・。

補足

オイラー公式＝＝＝＝＞（－１）*（－１）=＋１
ではなくて
（－１）*（－１）=＋１=====>オイラーの公式
なのだ。ここが重要！！

回答No.11

marukajiri

マイナスの符号がついていても、それは数字であり、マイナスの数字の前にマイナスがつけばプラスになるし、プラスの数字同士を足したものはプラスの増加となるし、マイナスの数字同士を足したものはマイナスの増加となるのです。

1+1が2になるというのが数学の決まり事であり、1+1=2という式で書き表すことができるということが基本になっています。

マイナス引き算については
1-(-1)
という場合、マイナスの符号の数字の前にマイナスがつくと、プラスとなるので
1-(-1)=1+1=2
という計算ができることが数学の決まり事であり、基本であります。そしてこれは最初の基本となる1+1=2により証明できます
すなわち
1+1=2　両辺に(-1)を加えて
1+1+(-1)=2+(-1)
1+1-1=2+(-1)
1=2+(-1)　この右辺の(-1)を移項して
1-(-1)=2
よって
1-(-1)=1+1=2
すると次の式が成立します
1-(-1)=2
左辺の1を移項して
-(-1)=1
両辺に(-1)を掛けると
-(-1)×(-1)=1×(-1)
-(-1)×(-1)=-1
移項すると
1=(-1)×(-1)
すなわち
(-1)×(-1)=1

ということで、すべては数学の基本となる「1+1=2」が成り立つことを前提として加減乗除の計算ができるのです。

お礼

-1*3=(-1)+(-1)+(-1)＝－３
なので、
（－１）*（－３）＝-（－１）-（－１）－（－１）＝３
（－１）*（－１）＝－（－１）＝＋１

補足

”－”記号はCPUの中では数字だったと思う。
一個上位桁から、”１”を取ってきて補数を取れば、それが減算だったかな？
なので、加減乗除と言いますが、私に言わせると加加加加です。
今のコンピュータは足し算だけしかやってませんヨネ。

回答No.10

jcpmutura

#7の方への質問者様の補足コメントで良いと思いますが
少し補足します
(1).(a=b)&(c=d)→a+c=b+d
(2).(a=b)&(c=d)→a*c=b*d
(3).(a+b)+c=a+(b+c)
(4).0+a=a+0=a
(5).a+(-a)=0
(6).1*a=a*1=a
(7).0*a=a*0=0
(8).(a+b)*c=a*c+b*c

(5)から
1+(-1)=0
↓両辺の右から(-1)をかけると(2)から
{1+(-1)}*(-1)=0*(-1)
↓(7),(8)から
1*(-1)+(-1)*(-1)=0
↓(6)から
-1+(-1)*(-1)=0
↓両辺の左から1を加えると(1)から
1+{(-1)+(-1)*(-1)}=1+0
↓(3),(4)から
{1+(-1)}+(-1)*(-1)=1
↓(5)から
0+(-1)*(-1)=1
↓(4)から
(-1)*(-1)=1

お礼

-1*3=(-1)+(-1)+(-1)＝－３
なので、
（－１）*（－３）＝-（－１）-（－１）－（－１）＝３
（－１）*（－１）＝－（－１）＝＋１

補足

数学基礎論はこんなことをやってたような。

回答No.9

178-tall

>(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 が正しければ、
>x = 0 とした
>(-1)^2 = 0^2 - 0 + 1 = 1
>なのでしょう。
>　　↑
>いわゆる「同義反復」です。

　演算ルール
　　　↓
　(x + y)^2 = x*x + 2*x*y + y*y
にて、x = 1, y = -1 とすれば？
　　　↓
　0 = (1 - 1)^2 = (+1)*(+1) + 2*(+1)*(-1) + (-1)*(-1)
　　　↓
(+1)*(+1) = +1, (+1)*(-1) = -1 ならば、(-1)*(-1) = +1 なのでしょう。

お礼

貴方のやり方が平面的な証明法ならオイラーの公式は立体的な3次元的証明法です。
そのことによってオイラーの公式のよさを感ずる。うーーん。

補足

オイラーの公式
－１＝e＾（iπ）・・・・・・（A)
なので、
（－１）*（－１）＝e＾（iπ）*e＾（iπ）
＝e＾（i2π）＝１
故に
（－１）*（－１）＝１・・・・・（B)

回答No.8

kaitara1

負数には虚数が潜在しているのでは。また虚数が正数との関係を取り持っているのでは。むしろ虚数だけで説明ができていると思いませんか。

お礼

はい、思います。

補足

（－１）*（－１）＝＋１・・・・・（A)
（＋１）*（＋１）＝＋１・・・・・（B)
つまり、（A)の＋１を（B)の左辺の＋１に代入する。
［（－１）*（－１）］*［（－１）*（－１）］＝＋１・・・・・（B)
つまり（B)の＋１はe＾（i４π）となり
（A）の＋１はe＾（i２π）となる。
つまり同じではない。

回答No.7

tarutosan

真ん中アスタリスクに見えますが×でいいのでしょうか？
線を書いて真ん中に0を置き、行ったりきたりするとわかりやすいです。
マイナスのものがマイナス個ある、つまり逆に進むのでプラスになります。

お礼

-1*3=(-1)+(-1)+(-1)＝－３
なので、
（－１）*（－３）
＝-［（－１）*（３）］
＝-［（－１）＋（－１）＋（－１）］
＝３
（－１）*（－１）＝－（－１）＝＋１

補足

１＋（－１）＝０
　　　　↓
１*（－１）＋（－１）*（－１）＝０
　　　　↓
－１＋（－１）*（－１）＝０
　　　　↓
（－１）*（－１）＝１

回答No.6

kaitara1

i*i*i*i　が１になることをあなたは認めないのでしょうか。もし認めるのならば証明するというか、あなたとの共通の納得できる前提になっていると思うのですが…

補足

i*i*i*i=====>1を言う時に頭の中で（－１）*（－１）＝＝＝＞１を計算してますよね？
（－１）*（－１）＝＝＝＞１を先に証明してください。
----------------------------

回答No.5

kaitara1

-1=i*i , ( -1)*(-1)=i*i*i*i=1

補足

＞( -1)*(-1)=i*i*i*i=1
i*i*i*i＝( -1)*(-1)ですよね？
だから( -1)*(-1)＝１を証明してください。

回答No.4

maiko0333

国語で考えましょう。
新幹線が新大阪駅に東京向いて止まっています。
時速１ｋｍで１時間後の位置は１ｋｍ／ｈ×１ｈ＝１ｋｍです。
時速１ｋｍでー１時間後（前）の位置は１ｋｍ／ｈ×ー１ｈ＝ー１ｋｍです。
時速ー１ｋｍ（バック）で１時間後の位置は１ｋｍ／ｈ×１ｈ＝ー１ｋｍです。
時速ー１ｋｍ（バック）でー１時間後（前）の位置は１ｋｍ／ｈ×１ｈ＝１ｋｍです。

補足

国語の時間。
東京方面、のぼり　　１Km/時＝１（Km/時）
九州方面　下り　　　－１Km/時
下りの1時間前の地点
　－１（Km/時）*－１（１時間前）＝－１*－１（Km)＝１（Km）新大阪
より１（Km）ほど行った新幹線京都駅側の地点。
－１*－１＝１でよいのかな？