発電制動について

質問

高い場所から一定の速度で荷物を降下させる機械を設計するように
課題を出されました。

回答の一つとして、モーター端子に抵抗を挟み、外力（荷物にかかる重力）で回転させて、モーターに発電させ電力として位置エネルギーを消費すれば、一定の速度で降下できるのではないかと考えました。

質問したい事は、外部からモーターを回転させたときに発生する電力と抵抗の関係です。一応学校の課題なので丸投げ禁止と言われないように自分なりの考えを書いておきます。

モーター電圧と電流と逆起電力の関係は
モーター端子間の電位差をV、電流をI、シャフトの角速度をω、モーターの内部抵抗をR1、外部に接続する抵抗をR2、逆起電力係数をKeとおくと

Ke*ω+(R1+R2)*I=V　　（１）

Vと外部に接続する電流の関係から

V=R2*I　　（２）

（１）（２）より、
Ke*ω＝R1*（-I）
（-I）＝Ke*ω/R1

したがって、消費電力Pは
P=(R1+R2)*(Ke*ω/R1)^2
と、考えました。よって、消費電力はωの２乗に比例すると思われます。
おそらく知識のある方から見ればアホな考えだとは思いますが、
なにとぞよろしくお願いします。

回答No.3

noname#230359 · ベストアンサー

回答(2)さんの考え方だと思います。
少し補足です。
あくまで机上の検討、減磁の件等は考慮していません。

ご指摘のモータは直流他励電動機と思います。

・外部に電源をつけて、通常にモータを回転させた場合の、
電流Iの方向を正
・そのときの回転(ω)方向を正
・そのときのトルクTを正
として 考えると、
Ke*ω+(R1+R2)*I = 0
T = Ke*I
よって回転が正方向であれば、
I = -1*Ke*ω/(R1+R2)・・・(1)
となり、電流はモータから出てくる方向(発電)となります。
抵抗分による消費電力は、
I^2*(R1+R2) = (Ke*ω)^2/(R1+R2)・・・(2)
と思います。
なお、トルク特性が T = Ke*I で、
I < 0 ですから、回転と逆方向のトルク、
すなわち回されていることになるのだと思います。
外力から、トルクが求まり、T = Ke*I
力学的エネルキーは、T*ω=(Ke*I)*ω・・・(3)

(3)に(1)を代入すると、(2)の抵抗による損失となります。

但し、私には等速で、降下できる条件がはっきり、把握
できていません。
外部につるした重しの反作用として、重さと同一の力の逆トルクの発生を
仮定すれば、等角速度ω一定で、上式が成り立ちます。
しかし、等角速度になるというのが、自分でも理論的に把握できていません。

外力によるトルクだけでは、モータの回転子が、角加速度運動を
しようとしますが、逆起電力 Ke*ω により、電流(発電)が流れ、それに
よって、モータ側が発生するトルクは、外力と同じでつりあい、
等角速度となるのかもしれません。（理想的に）
では、ωがいくらになるのかというのは、やはり解りません。
何らかの初期条件で、決まるのかもしれません。

外部にものを吊るした瞬間は、
ω=0、I=O
また、外力のトルクTLにより、モータは回転を始めます。

モータのイナーシャの慣性モーメントをImとすれば、

TL = Im*(dω/dt)
しかしモータが回転すると、誘導で

I=-K*ω/(R1+R2)の電流が流れます。それにより、モータには
Tm = K*Iのトルクが発生します。

よって運動方程式は、
TL＋Tm = Im*(dω/dt)・・・(1)注：TmはTLと逆方向（反回転方向）
電流の式が
I=-K*ω/(R1+R2)・・・(2)

よってはじめωは0で、回転を始め、
ωが大きくなって電流が増加し、その電流で発生する
モータの逆トルクが、ぶら下げた物体のトルクと、
つりあった時点で、等角速度運転(定常状態)になるのでは、
と思います。

抵抗R2の値で、定常状態のωの値を調整するものと、解釈できます。

上記(1)、(2)の微分方程式を解けばよいと思われます。

TL、Im、Kは一定
Tm、I、ωは時間の関数です。

取り会えず、我流でときました。
ωについての式にすると、

I=-kω/(R1+R2)
より、
Tm=K*I=-ω*k^2/(R1+R2)

TL+Tm=Im*(dω/dt)に代入して

TL-ω*k^2/(R1+R2)=Im*(dω/dt)
両辺Imで割り

(TL/Im)-（k^2/(R1+R2)/Im)*ω=dω/dt

(TL/Im)=A、（k^2/(R1+R2)/Im)=Bとおくと、

A-B*ω=dω/dt・・・(1)

ωの一般解は、exp(-B*t)
特解を求めるため、
ω=C1*exp(-B*t)+C2　とおいて(1)に代入すると、
A=B*C2、すなわち、C2=A/B
またt=0にてω=0より、C1=-A/B

まとめて、
ω=(A/B)*(1-exp(-B*t))
となりました。
t=0でω=0、t->∞にて、ω=A/B
すなわち、(TL/Im)/（k^2/(R1+R2)/Im)

まとめて、TL*(R1+R2)/k^2・・・ω定常値

これは、外力TLが大きいとωが大きくなる。
抵抗が大きいと電流が制限されモータトルクが小さくなり、ωが大きくなる。
モータ定数Kが大きいと、モータトルクが大きく、電流も大きくなり、ωが小さくなる。
R2を大きくすれば回転数は上がります。
実際R2->∞で電流は流れず、発電できませんから。
ただ、結果にモータのイナーシャが入ってないのがふに落ちませんが・・・

以上、間違っていたらすいません。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。
実際に機械を作るわけではなく、アイディアを発表するだけ
なので机上の検討で十分です。
先ほど実際にモーターを直結して計測した結果、回転数と発電側に接続した
付加に流れる電流が比例している様子が確認できました。

回答No.5

noname#230359

確かに回答(4)さんの言うとおり、定常状態では、外部トルクに対してつりあうモータトルクは、電流と誘起電圧定数、トルク定数のみで決まります。
外部トルク=モータトルク、モータトルクより電流が決まる。
Iが決まれば
I = -1*Ke*ω/(R1+R2)　より、ωが決まる訳ですね。

加速して、定常状態に至る時定数「τ=1/B」にImが入っているから、イナーシャが大きいと、定常状態に至る時間が大きくなります。
<< ω=(A/B)*(1-exp(-B*t))の指数項の時定数は、1/B　>>

あと、誘起電圧定数とトルク定数は異なりますが、界磁の方法によりますが、
界磁電流電流一定の、直流他励電動機では、
誘起電圧定数とトルク定数は比例関係にあったかと記憶しています。

トルク定数と誘起電圧定数の件
あくまでDCモータでの検討です。

基本式は
V=R*I+G*ω*If+L*dI/dt・・・(1)
ここで、Iは電機子電流、Ifは界磁電流です。

両辺にＩをかけると
VI=R*I^2+G*I*If*ω+d(L*I^2/2)/dt

で、右辺第二項は機械的エネルギーです。
第三項は磁界に保存されるエネルギーです。

すなわち、G*I*ωが機械的エネルギーです。
よって機械的エネルギー=Tm*ωですから、(Tmはモータの発生するトルク)
Tm=(G*If)*I　です。よってトルク定数は、G*If・・・Aとおけば、Tm=A*I
逆起電力は、G*ω*If=(G*If)*ω　より、同じくG*Ifです。
これよりG*If=Bとおけば、逆起電力は、B*ω
A=Bですから、誘起電圧定数とトルク定数はおなじでは？

上記に誤記ありました。
すなわち、G*I*ωが機械的エネルギーです。（誤)
==>
すなわち、G*I*If*ωが機械的エネルギーです。（正)
です。

補足

想像以上のご意見を頂戴できて本当にありがとうございます！
発電制動を一つの方法として採用しようと思っていましたが、磁界を利用してうまく物体を等速で降下させる方法を思いつきました。さっそくHDDを改造してちょっとした実験モデルを作ってみたところ、想定どおりの挙動を示したのでこの方法を講義では発表しようと思います。

ご意見をいただいて、封印してしまうのは申し訳ありませんが、自分の知識や経験としてこれからも役に立つと思います。

回答No.4

noname#230359

回答(3)で概ね正しいと思います。
定常状態は重力とモータ制動トルクが釣合う状態から計算できます。この状態ですから、イナーシャの項が表れないのは当然です。

I=-K*ω/(R1+R2)のKは誘起電圧定数

Tm=K*IのKはトルク定数で別のものです。

学生さんでしたら，あとは自分で計算する事をお勧めします。

回答No.2

noname#230359

基本的な考え方は間違っていません。
荷物の持つ位置エネルギーを下ろす時間で除した値がパワーになります。
このパワーを内部抵抗と外部抵抗で消費する事になります。
式としての誤りは
Ke*ω+(R1+R2)*I=V　　（１）
左辺で外部抵抗電圧降下分を入れていて，外部電源がない状態と思いますので右辺は０です
Ke*ω+(R1+R2)*I=0　　（１）
この式から解けば良いと思います。
基本的には上昇する速度＋α以内で下降させる事が可能です。
ギヤ比の考慮は余り関係ありません。

速度については間違いました。
モーター軸受けの許容範囲内で大丈夫です。
外部抵抗が小さ過ぎて電流が大き過ぎますと，減磁作用で磁力が減少する事が起きますので要注意です。

速度については間違いました。
モーター軸受けの許容範囲内で大丈夫です。
外部抵抗が小さ過ぎて電流が大き過ぎますと，減磁作用で磁力が減少する事が起きますので要注意です。

回答No.1

noname#230359

毎度ＪＯです。
直流ブラシモーターの起電力は、どの程度でしょう？
例えば、（一定の速度で荷物を降下）この荷物を上昇させることが出来るモーターが、上昇時に１０Ｗ消費したとすると、上昇と同じ速度で荷物を降下させた時、どの程度発電できるでしょうか？？
降下速度を十分に下げる為には、モーターのギア比を大きくせねばなりませんね。