∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1

質問

∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1

この公式が成立する理由を教えてください
この写真のように+などしていって公式が成立するみたいに
この公式の成立する理由を詳しく教えてください

この写真の公式は一つ一つを+していってこの公式の意味になったんてすよね？
だったら
この文の公式も×（かけたり)足したりしてできたんじゃないのでしょうか？

そうであってますか？
そうだったら教えて欲しいのですが

お願いします

回答No.5

f272

∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1
は()がないと読む人が誤解します。言いたいことは
∫(x^n)dx=(1/(n+1))x^(n+1)
でしょうね。でもこれは間違いです。左辺は不定積分といってxで微分したらx^nになる関数全体です。右辺はxで微分するとたしかにx^nになりますが，これだけではなく他にもあります。正しく書けばCを積分定数として
∫(x^n)dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C
となります。

> この文の公式も×（かけたり)足したりしてできたんじゃないのでしょうか？

不定積分は，微分したらその中身の関数になる関数全体ですから，微分の公式を逆に使うことで公式ができます。つまり
(d/dx)((1/(n+1))x^(n+1)+C)=x^n
だから「この文の公式」ができたのです。

回答No.4

178-tall

>n ≧ 2 では n 乗和公式を使えば、煩雑さを回避できますかネ。

たとえば、参考URL
　　　↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A6%E3%83%AB%E3%83%8F%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

回答No.3

178-tall

>写真のようなかけたり足したりしてできた公式ではないということでいいんですか？

そうは、おっしゃってません。

(x^n の n と混同せぬよう、区間分割数を m と表記)

x=0 から x=ξ までの f(x) = x^n の分割長方形 ( x 刻み幅 = ξ/m ) の面積和 S(ξ) は、
k 番目の長方形面積 = (ξ/m)*(kξ/m)^n の総和、
　Sn(ξ) = (ξ/m)*{ (ξ/m)^n + (2ξ/m)^n + … + (mξ/m)^n }

例えば n = 1 のケースなら、
　S1(ξ) = (ξ/m)*{ (ξ/m) + (2ξ/m) + … + (mξ/m) }
　= (ξ/m)^2*{ 1 + 2 + … + m } = (ξ/m)^2*m(m+1)/2 → ξ^2/2 (m→∞)

n ≧ 2 では n 乗和公式を使えば、煩雑さを回避できますかネ。

回答No.2

jcpmutura

∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1
ではなく
∫x^ndx={1/(n+1)}x^(n+1)
です
この公式が成立する理由は
不定積分は微分の逆算なので右辺をxで微分すると
[{1/(n+1)}x^(n+1)]'=x^n
となるから
∫x^ndx={1/(n+1)}x^(n+1)
の公式が成立するのです。

∫x^ndx
は不定積分ですが
写真の方は定積分
∫_{0～1}x^ndx
なので
不定積分と定積分は違うので
写真に合わせて定積分とすると
∫_{0～X}x^ndx
このnは定数ですが
と写真のnは∞へ近づく変数なので違います
写真のnと混同しないようNとすると

∫_{0～X}f(x)dx=∫_{0～X}x^Ndx

x=0からx=Xまでの区間をn個に分割して,
n個の長方形を作ります。

この長方形の面積を足し上げると,

(X/n)f(X/n)+(X/n)f(2X/n)+…+(X/n)f(Xn/n)
=Σ_{k=1～n}(X/n)f(kX/n)
=Σ_{k=1～n}(X/n)(kX/n)^N
となります。
nをどんどん増やしていくと,長方形の横幅はどんどん0に近づいていくので,
長方形の面積の和は
f(x)=x^N
とx軸とx=0とx=Xで囲まれた部分の面積に近づいていきます
よってn→∞で,∫_{0～X}x^Ndx

=lim_{n→∞}Σ_{k=1～n}(X/n)(kX/n)^N

=X^{N+1}lim_{n→∞}(1/n^{N+1})Σ_{k=1～n}k^N
↓累乗和の公式(Bjはベルヌーイ数,(N+1)Cj=(N+1)!/{(N+1-j)!j!})
↓Σ_{k=1～n}k^N={1/(N+1)}Σ_{j=0～N}(N+1)CjBjn^{N+1-j}
↓から
=X^{N+1}lim_{n→∞}(1/n^{N+1}){1/(N+1)}Σ_{j=0～N}(N+1)CjBjn^{N+1-j}
={X^{N+1}/(N+1)}lim_{n→∞}Σ_{j=0～N}(N+1)CjBjn^{-j}
={X^{N+1}/(N+1)}(N+1)C0B0
=X^{N+1}/(N+1)
∴
∫_{0～X}x^Ndx=X^(N+1)/(N+1)

Nをnに,Xをxに置き換えると

∫_{0～x}x^ndx=x^(n+1)/(n+1)={1/(n+1)}x^(n+1)
∴
∫x^ndx={1/(n+1)}x^(n+1)

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

jcpmutura

∫x^ndx=(1/n+1)x^n+1
ではなく
∫x^ndx={1/(n+1)}x^(n+1)
です
この公式が成立する理由は
不定積分は微分の逆算なので右辺をxで微分すると
[{1/(n+1)}x^(n+1)]'=x^n
となるから
∫x^ndx={1/(n+1)}x^(n+1)
の公式が成立するのです。

∫x^ndx
は不定積分ですが
写真の方は定積分
∫_{0～1}x^ndx
なので
不定積分と定積分は違うので
写真に合わせて定積分とすると
∫_{0～X}x^ndx
このnは定数ですが
と写真のnは∞へ近づく変数なので違います
写真のnと混同しないようNとすると
∫_{0～X}x^Ndx
=lim_{n→∞}(X/n)Σ_{k=1～n}(kX/n)^Ndx
=X^{N+1}lim_{n→∞}(1/n^{N+1})Σ_{k=1～n}k^N
↓累乗和の公式(Bjはベルヌーイ数,(N+1)Cj=(N+1)!/{(N+1-j)!j!})
↓Σ_{k=1～n}k^N={1/(N+1)}Σ_{j=0～N}(N+1)CjBjn^{N+1-j}
↓から
=X^{N+1}lim_{n→∞}(1/n^{N+1}){1/(N+1)}Σ_{j=0～N}(N+1)CjBjn^{N+1-j}
={X^{N+1}/(N+1)}lim_{n→∞}Σ_{j=0～N}(N+1)CjBjn^{-j}
={X^{N+1}/(N+1)}(N+1)C0B0
=X^{N+1}/(N+1)
∴
∫_{0～X}x^Ndx=X^(N+1)/(N+1)

Nをnに,Xをxに置き換えると

∫_{0～x}x^ndx=x^(n+1)/(n+1)={1/(n+1)}x^(n+1)
∴
∫x^ndx={1/(n+1)}x^(n+1)

補足

写真のようなかけたり足したりしてできた公式ではないということでいいんですか？